【題目】△ABC內(nèi)接于⊙O,I為其內(nèi)心,AI的延長線交⊙O于D,連OD交BC于E.
(1)求證: OD⊥ BC;
(2)若∠BOC=∠BIC,求∠BAC的度數(shù);
(3)①若DE=2,BE=4,①求⊙O的半徑r.
②當點A在優(yōu)弧BAC上移動時,OI是否有最小值,如有請求出最小值,如沒有請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)60°(3)①5 ②
【解析】
(1)延長DO交⊙O于P,則DP是⊙O的直徑;連接OB、OC,則OB=OC,根據(jù)等邊對等角證得∠OBC=∠OCB,根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得∠∠BAD=∠CAD,根據(jù)圓周角定理及其推論可得∠BOD=∠BOC,進而證得△BOE≌△COE,繼而得BE=CE,根據(jù)垂徑定理即可求證結(jié)論;
(2)連接BO、CO、BI、CI,根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可得∠BIC=90°+∠BAC,根據(jù)圓周角的性質(zhì)及其推論可得∠BOC=2∠BAC,由∠BIC=∠BOC可知90°+∠BAC=2∠BAC,繼而求解即可;
(3)①根據(jù)題意可得:BE=4,DE=2,OB=r,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程,解方程即可;
②由I是△ABC的內(nèi)心可知,DB=DC=DI,由勾股定理可得,繼而得DI=DB=BC=,分析題意可知,當A點移動到使A、I、O、D四個點在一條直線上時,OI有最小值,繼而求得OI=OD-DI=5-.
(1)延長DO交⊙O于P,則DP是⊙O的直徑;連接OB、OC,則OB=OC
∴∠OBC=∠OCB,
∵I是△ABC的內(nèi)心,
∴AI平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠BOD=∠BOC,
∴△BOE≌△COE(ASA),
∴BE=CE,
∴DP⊥ BC(平分弦的直徑垂直于弦),
即OD⊥ BC,
(2)連接BO、CO、BI、CI,
∵I是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BIC=90°+∠BAC
∵∠BOC=2∠BAC,∠BIC=∠BOC
∴90°+∠BAC=2∠BAC,
∴∠BAC=60°
(3)①∵BE=4,DE=2,OB=r
∴OE=OD-DE=OB-DE=r-2,
∵OD⊥BC,
∴∠BEO=90°,
在Rt△BOE中,根據(jù)勾股定理可得
解得:
故⊙O的半徑;
②∵⊙O是△ABC的外接圓,I是△ABC的內(nèi)心,且AI的延長線交⊙O于點D,
∴DB=DC=DI,
∵BE=4,DE=2,∠BED=90°,
由勾股定理可得:,
∴DI=DB=BC=,
當A點移動到使A、I、O、D四個點在一條直線上時,OI有最小值,
此時OI=OD-DI=5-.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著電影《流浪地球》的熱映,科幻大神劉慈欣的著作受到廣大書迷的追捧,《流浪地球》《球狀閃電》《三體》《超新星紀元》四部小說在某網(wǎng)上書城熱銷.已知《流浪地球》的銷售單價與《球狀閃電》相同,《三體》的銷售單價是《超新星紀元》單價的3倍,《流浪地球》與《超新星紀元》的單價和大于40元且不超過50元;若自電影上映以來,《流浪地球》與《超新星紀元》的日銷售量相同,《球狀閃電》的日銷售量為《三體》日銷售量的3倍,《流浪地球》與《三體》的日銷售量和為450本,且《流浪地球》的日銷售量不低于《三體》的日銷量的且小于230本;《流浪地球》《三體》的日銷量額之和比《球狀閃電》《超新星紀元》的日銷售額之和多1575元.則當《流浪地球》《三體》這2部小說日銷額之和最多時,《流浪地球》的單價為_____元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,O為AC的中點,過點O的直線分別與AB,CD交于點E,F,連接BF交AC于點M,連接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,則下列結(jié)論:①FB⊥OC,OM=CM;②△EOB≌△CMB;③四邊形EBFD是菱形;④MB∶OE=3∶2.其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于平面直角坐標系中的圖形M,N,給出如下定義:如果點P為圖形M上任意一點,點Q為圖形N上任意一點,那么稱線段PQ長度的最小值為圖形M,N的“近距離”,記作 d(M,N).若圖形M,N的“近距離”小于或等于1,則稱圖形M,N互為“可及圖形”.
(1)當⊙O的半徑為2時,
①如果點A(0,1),B(3,4),那么d(A,⊙O)=_______,d(B,⊙O)= ________;
②如果直線與⊙O互為“可及圖形”,求b的取值范圍;
(2)⊙G的圓心G在軸上,半徑為1,直線與x軸交于點C,與y軸交于點D,如果⊙G和∠CDO互為“可及圖形”,直接寫出圓心G的橫坐標m的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩盒中分別標注數(shù)字2、、、和、1、6的3張卡片,這些卡片除數(shù)字外都相同,把卡片洗勻后,從甲、乙兩盒中各任意抽取1張,并把從甲盒中抽得卡片上的數(shù)字作為一個點的橫坐標,從乙盒中抽得卡片上的數(shù)字作為這個點的縱坐標.
(1)請利用列表或畫樹狀圖的方法列出這樣的點所有可能的坐標;
(2)計算這些點落在以原點為圓心、3為半徑的圓內(nèi)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,是的直徑,交于點,過點的直線交于點,交的延長線于點.
(1)求證:是的切線;
(2)若,試求的長;
(3)如圖2,點是弧的中點,連結(jié),交于點,若,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標分別為A(1,1),B(4,2),C(3,4)
(1)請畫出將△ABC向左平移4個單位長度后得到的圖形△A1B1C1;
(2)請畫出△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A2B2C2;
(3)在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小,請直接寫出點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于二、四象限內(nèi)的A、B兩點,與x軸交于C點,點A的坐標為(﹣2,3),點B的坐標為(4,n).
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)在x軸上是否存在點P,使△APC是直角三角形?若存,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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