Question

（本題滿分12分）

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的四個頂點坐標分別為O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是對角線AC的中點，動直線MN平行于AC且交矩形OABC的一組鄰邊于E、F，交y軸、x軸于M、N．設點M的坐標為（0，t），△EFG的面積為S．

（1）求S與t的函數關系式；

（2）當△EFG為直角三角形時，求t的值；

（3）當點G關于直線EF的對稱點G′ 恰好落在矩形OABC的一條邊所在直線上時，直接寫出t的值．

 

Answer 1

（1）S=；（2）或或或；（3），，，．

【解析】

試題分析：（1）分為MN在CA的左下方（0＜t ＜3）和右上方（3＜t ＜6）兩種情況；分別把EF表示出來，并把△EFG的高表示出來即可；

（2）當0＜t ＜3時，把△EFG三邊的平方表示出來，△EFG是直角三角形有三種可能，列出三個方程，分別解出即可；同樣當3＜t ＜6時，把△EFG三邊的平方表示出來，△EFG是直角三角形也有三種可能；

（3）GG’所在的直線與直線CA垂直，且過G點，故表達式為，分別求出直線GG’與直線CB、BA、OA、OC的交點G’，由線段GG’的中點在直線MN上即可得到四種情況的答案．

試題解析：

（1）①當0＜t ＜3時，如圖，過E作EH⊥CA于H，

∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），∴OA=4，OC=3，AC=5，

∵MN∥CA，∴△OEF∽△OCA，∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，∴EF=，

∵EH⊥CA，∴∠ECH=∠OCA．∴sin∠ECH=sin∠OCA，∴EG：EC=OA：CA，即EH：（3－t）=4：5，∴EH=，

∴S=；

②當3＜t ＜6時，如圖，過C作CH⊥MN于H，

MC=，∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA．∴sin∠CMH=sin∠OCA，

∴CH：MC=OA：CA，即CH：（）=4：5，∴EH=，

易求直線AC的解析式為：，∵MN∥CA，∴，令y=3，∴，解得：，∴E（），在中，令，得：，∴F()，

∴EF=，

∴S=；

∴S=；

（2）①當0＜t ＜3時，E(0，t)，F(xiàn)(，0)，G（2，），

∴，，，

若，則：，解得：t=0(舍去)，t=（舍去），

若，則：，解得：t=0(舍去)，t=，

若，則：，解得：，

②當3＜t ＜6時， E（），F(xiàn)()，G（2，），

∴，，，

若，則：，整理得：，△=441，解得：，t=6(舍去)

若，則：，整理得：，△=49，解得t=6(舍去)，t=（舍去），

若，則：，解得：，

∴或或或；

（3）直線MN為，G（2，），

GG’所在的直線與直線CA垂直，且過G點，故表達式為，在中，

令，得：，∴G’（0，），GG’的中點（1，），代入直線MN為，得：，

令，得：，∴G’（，0），GG’的中點（，），代入直線MN為，得：，

令，得：，∴G’（4，），GG’的中點（3，），代入直線MN為，得：，

令，得：，∴G’（ ，3），GG’的中點（，），代入直線MN為，得：，

∴，，，．

考點：1．四邊形綜合題；2．直角三角形的性質．