Question

【題目】已知關(guān)于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．
（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)拋物線y=kx2+（2k+1）x+2圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)時(shí)，若P（a，y1），Q（1，y2）是此拋物線上的兩點(diǎn)，且y1＞y2 ， 請結(jié)合函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知拋物線y=kx2+（2k+1）x+2恒過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①當(dāng)k=0時(shí)，方程為x+2=0，所以x=﹣2，方程有實(shí)數(shù)根，

②當(dāng)k≠0時(shí)，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0，

∴無論k取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：令y=0，則kx2+（2k+1）x+2=0，

解關(guān)于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣ ，

∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，

∴k=1．

∴該拋物線解析式為y=x2+3x+2，

由圖象得到：當(dāng)y1＞y2時(shí)，a＞1或a＜﹣4．

（3）解：依題意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立，

則 ，

解得 或 ．

所以該拋物線恒過定點(diǎn)（0，2）、（﹣2，0）．

【解析】（1）分情況討論：①該方程是一元一次方程時(shí)，②該方程是一元二次方程時(shí)；（2）通過解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到該拋物線解析式為y=x2+3x+2，結(jié)合圖象回答問題即可；（3）根據(jù)題意kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出關(guān)于x、y的方程組，通過解方程組求得該定點(diǎn)坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解求根公式的相關(guān)知識(shí)，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2、當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)根3、當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，以及對拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的理解，了解一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．