【題目】如圖,已知OMON,垂足為O,點A、B分別是射線OM、ON上的一點(O點除外).

1)如圖①,射線AC平分∠OAB,若BC所在的直線也平分以B為頂點的某一個角αα180°),則∠ACB  ;

2)如圖②,P為平面上一點(O點除外),∠APB90°,且OA≠AP,分別畫∠OAP、∠OBP的平分線AD、BE,交BPOA于點D、E,試判斷ADBE的位置關(guān)系,并說明理由;

3)在(2)的條件下,隨著P點在平面內(nèi)運動,AD、BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化?請利用圖③畫圖探究.如果不變,直接回答;如果變化,畫出圖形,寫出AD、BE位置關(guān)系并說明理由.

【答案】145°135°;(2ADBE,理由見解析;(3)變化;當(dāng)PAB的上方時,如圖②見解析,有ADBE; 當(dāng)PAB的下方時,如圖③見解析,有ADBE.理由見解析.

【解析】

1)分兩種情況討論:若BC平分∠ABO,由三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論,若BC平分∠ABO的外角,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義,可得結(jié)論;

2)證明∠OAD=OEB,可得:ADBE

3)先根據(jù)∠AOB=APB=90°,分點PAB的上方和PAB的下方分類,依據(jù)角平分線的定義及特殊構(gòu)圖“8”字形對頂三角形有關(guān)角的關(guān)系的運用,即可得到結(jié)論.

1)若BC平分∠ABO,如圖①a,

∵∠AOB=90°,

∴∠OAB+ABO=90°,

AC,BC分別平分∠OAB,∠ABO,

∴∠BAC=OAB,∠ABC=ABO,

∴∠BAC+ABC=(∠OAB+ABO=45°

∠ACB=180°-(BAC+ABC)= 180°-45°=135°

BC平分∠ABO的外角,如圖①b

同上易知,∠1=2,∠3=4

∵∠1+2=3+4+AOB=3+4+90°,

22=24+90°,

∴∠2=4+45°

∴∠2-4=45°,

∠ACB=45°,

綜上,∠ACB=45°135°.

故答案為:45°135°.

2AD∥BE

∵∠AOB∠P90°

∴∠OAP+∠OBP180°

∠OAP+∠OBP90°

∵AD平分∠OAP,BE平分∠OBP

∴∠OAD∠OAP,∠OBE∠OBP

∴∠OAD+∠OBE=∠OAP+∠OBP90°

∵∠AOB90°

∴∠OEB+∠OBE90°

∴∠OAD∠OEB

∴AD∥BE

3)變化

當(dāng)PAB的上方時,如圖,有AD∥BE

當(dāng)PAB的下方時,如圖,有AD⊥BE

理由是:

延長ADBE交于點G,設(shè)OAPB交于H

∵∠APB∠AOB90°,∠AHP∠BHO

∴∠OAP∠OBP

∵AD平分∠OAP,BE平分∠OBP

∴∠PAD∠OAP,∠DBE∠OBP

∴∠PAD∠DBE,

∵∠ADP∠BDG,

∴∠AGB∠P90°

∴AD⊥BE

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⑵元旦前夕,禮品店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種禮品共50個.恰逢該廠家對兩種禮品的價格進(jìn)行調(diào)整,一件甲種禮品價格比第一次購進(jìn)時提高了20%,一件乙種禮品價格比第一次購進(jìn)時降低了5元.如果此次購進(jìn)甲、乙兩種禮品的總費用不超過3100元,那么這家禮品店最少可購進(jìn)多少件甲種禮品?

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