Question

19．如圖，正方形ABCD的邊長為4，延長CB至點M，使BM=2，過點B作BN⊥AM，垂足為N，O是對角線AC，BD的交點，連接ON，則ON的長為$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 由條件可證得△ABN∽△BNM∽△ABM，且可求得線段AM的長度，利用對應(yīng)線段的比相等可求得AN和MN，進一步可得到$\frac{AO}{AM}=\frac{AN}{AC}$，且∠CAM=∠NAO，可證得△AON∽△AMC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得ON．

解答 解：∵AB=4，BM=2，
∴AM=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠ABM=90°，BN⊥AM，
∴△ABN∽△BNM∽△AMB，
∴AB²=AN×AM，BM²=MN×AM，
∴AN=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，MN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵AB=4，CD=4，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴AO=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AO}{AM}=\frac{AN}{AC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，且∠CAM=∠NAO
∴△AON∽△AMC，
∴$\frac{ON}{MC}$=$\frac{AO}{AM}$，即$\frac{ON}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$，
∴ON=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{6\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了正方形性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的對應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵．