Question

（2010•莆田）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=1，OC=2，點D在邊OC上且OD=．
（1）求直線AC的解析式；
（2）在y軸上是否存在點P，直線PD與矩形對角線AC交于點M，使得△DMC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）拋物線y=-x²經過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點D和點E（點E在y軸的正半軸上），且△ODE沿DE折疊后點O落在邊AB上O′處．

Answer 1

【答案】分析：（1）設直線AC的解析式y=kx+b，將A、C兩點坐標代入即可求解；
（2）由題意得：若△DMC為等腰三角形，則可分為三種情況討論，即DC為底；DM為底；CM為底三種情況；
（3）可根據對稱性求得點O′的坐標，然后求得點E的坐標，由待定系數法求得新拋物線的解析式即可求得．
解答：解：（1）設直線AC的解析式y=kx+b，
又∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0）代入函數解析式求得：k=，b=1
直線AC的函數解析式：y=

（2）若DC為底邊，
∴M的橫坐標為，
則點M的坐標為（，）
∴直線DM解析式為：y=x-，
∴P（0，-）；
若DM為底，則CD=CM=，
∴AM=AN=-，
∴N（-，1），
可求得直線DM的解析式為y=（+2）x-（+2），
∴P（0，）
若CM為底，則CD=DM=
∴點M的坐標為（，）
∴直線DM的解析式為y=-x+，
∴點P的坐標為（0，）

（3）根據對稱性可得點O′的坐標為（，1）或（2，1）
∴點E的坐標為（0，）或（0，）
∴設新拋物線的解析式為y=-（x-h）²+k
∴h=，k=或h=，k=，
∴拋物線y=-x²經過向左平移個單位，再向上平移個單位；或向右平移個單位，向上平移個單位．
點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數與二次函數的解析式，解題時要注意數形結合思想的應用，要注意答案的不唯一性，解題時要注意別漏解．