Question

（2010•莆田）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=1，OC=2，點(diǎn)D在邊OC上且OD=．
（1）求直線AC的解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，直線PD與矩形對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，使得△DMC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）拋物線y=-x²經(jīng)過怎樣平移，才能使得平移后的拋物線過點(diǎn)D和點(diǎn)E（點(diǎn)E在y軸的正半軸上），且△ODE沿DE折疊后點(diǎn)O落在邊AB上O′處．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；
（2）由題意得：若△DMC為等腰三角形，則可分為三種情況討論，即DC為底；DM為底；CM為底三種情況；
（3）可根據(jù)對(duì)稱性求得點(diǎn)O′的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求得新拋物線的解析式即可求得．
解答：解：（1）設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，
又∵OA=1，OC=2，
∴A（0，1），C（2，0）代入函數(shù)解析式求得：k=，b=1
直線AC的函數(shù)解析式：y=

（2）若DC為底邊，
∴M的橫坐標(biāo)為，
則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）
∴直線DM解析式為：y=x-，
∴P（0，-）；
若DM為底，則CD=CM=，
∴AM=AN=-，
∴N（-，1），
可求得直線DM的解析式為y=（+2）x-（+2），
∴P（0，）
若CM為底，則CD=DM=
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）
∴直線DM的解析式為y=-x+，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）

（3）根據(jù)對(duì)稱性可得點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（，1）或（2，1）
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，）或（0，）
∴設(shè)新拋物線的解析式為y=-（x-h）²+k
∴h=，k=或h=，k=，
∴拋物線y=-x²經(jīng)過向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位；或向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意答案的不唯一性，解題時(shí)要注意別漏解．