Question

已知D為直線AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE
（1）如圖1，若∠COF=34°，則∠BOE=

 

；若∠COF=m°，則∠BOE=

 

；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（2）在圖2中，若∠COF=75，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的三分之一？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）當(dāng)射線OE繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，（1）中∠BOE和∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由，若不成立，求出∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）由∠COF=34°，∠COE是直角，易求∠EOF，而OF平分∠AOE，可求∠AOE，進(jìn)而可求∠BOE，若∠COF=m°，則∠BOE=2m°；進(jìn)而可知∠BOE=2∠COF；
（3）由前面的結(jié)論，當(dāng)∠COF=75°，得到∠BOE=2×75°=150°，并且∠EOF=∠AOF=90°-75°=15°，再根據(jù)2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的三分之一，可得到關(guān)于∠BOE的方程，解方程得到∠BOD=15°，因此在∠BOE的內(nèi)部存在一條射線OD，滿足條件；
（2）由于∠COE是直角，于是∠EOF=90°-∠COF，而OF平分∠AOE，得出∠EOF=（180°-x）÷2，∠FOC=（180°-x）÷2+90°=（360°-x）÷2，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠COF=34°，∠COE是直角，
∴∠EOF=90°-34°=56°，
又∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°-112°=68°，
若∠COF=m°，則∠BOE=2m°；
故∠BOE=2∠COF；
故答案是68°；2m°；∠BOE=2∠COF；

（2）存在．理由如下：
如圖2，∵∠COF=75°，
∴∠BOE=2×75°=150°，
∠EOF=∠AOF=90°-75°=15°，
而2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，
∴2∠BOD+15°=

1

3

（150°-∠BOD），
∴∠BOD=15°．

（3）∠BOE和∠COF的關(guān)系不成立．
設(shè)∠BOE=x，則∠EOF=（180°-x）÷2，∠FOC=（180°-x）÷2+90°=（360°-x）÷2，
∴∠BOE+2∠FOC=360°

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；也考查了角平分線的定義以及互余互補(bǔ)的含義．