如圖，對稱軸為直線x=-
7
2
的拋物線經(jīng)過點A（-6，0）和點B（0，4）．
（1）求拋物線的解析式和頂點坐標(biāo)；
（2）設(shè)點E（x，y）是拋物線上的一個動點，且位于第三象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，求?OEAF的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
①當(dāng)?OEAF的面積為24時，請判斷?OEAF是否為菱形？
②是否存在點E，使?OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．•
（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+
7
2
）2+k（k≠0），
則依題意得：
24
25
a+k=0，
49
4
a+k=4
解之得：a=
2
3
，
k=-
25
6

即：y=
2
3
（x+
7
2
）2-
25
6
，頂點坐標(biāo)為（-
7
2
，-
25
6
）；

（2）∵點E（x，y）在拋物線上，且位于第三象限．
∴S=2S△OAE=2×
1
2
×0A×（-y）
=-6y
=-4（x+
7
2
）2+25 （-6＜x＜-1）；
①當(dāng)S=24時，即-4（x+
7
2
）2+25=24，
解之得：x1=-3，x2=-4
∴點E為（-3，-4）或（-4，-4）
當(dāng)點E為（-3，-4）時，滿足OE=AE，故□OEAF是菱形；
當(dāng)點E為（-4，-4）時，不滿足OE=AE，故□OEAF不是菱形．
②不存在．
當(dāng)0E⊥AE且OE=AE時，□OEAF是正方形，此時點E的坐標(biāo)為（-3，-3），
而點E不在拋物線上，故不存在點E，使□OEAF為正方形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，BC在x軸上，點D為BC的中點，點A在第一象限內(nèi)，AB與y軸的正半軸相交于點E，點B（-1，0），P是AC上的一個動點（P與點A、C不重合）
（1）求點A、E的坐標(biāo)；
（2）若y=-
6
3
7
x2+bx+c過點A、E，求拋物線的解析式；
（3）連接PB、PD，設(shè)L為△PBD的周長，當(dāng)L取最小值時，求點P的坐標(biāo)及L的最小值，并判斷此時點P是否在（2）中所求的拋物線上，請充分說明你的判斷理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖1，Rt△ABC中，斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，且OC=2，OA：OB=1：4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若直線y=x+b與Rt△ABC相交，所截得的三角形面積是原Rt△ABC面積的
3
10
，求b的值；
（3）將△OAC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△OEF，如圖2，再將△OEF繞平面內(nèi)某點旋轉(zhuǎn)180°后得△MNQ（點M、N、Q分別與點E、F、O對應(yīng)），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑分別為3
3
和
3
的⊙O1和⊙O2外切于原點O，在x軸上方的兩圓的外公切線AB與⊙O1和⊙O2分別切于點A、B，直線AB交y軸于點C．O2D⊥O1A于點D．
（1）求∠O1O2D的度數(shù)；
（2）求點C的坐標(biāo)；
（3）求經(jīng)過O1、C、O2三點的拋物線的解析式；
（4）在拋物線上是否存在點P，使△PO1O2為直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線y=2x2+bx-2經(jīng)過點A（1，0）．
（1）求b的值；
（2）設(shè)P為此拋物線的頂點，B（a，0）（a≠1）為拋物線上的一點，Q是坐標(biāo)平面內(nèi)的點，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，這樣的Q點有幾個，并求出PQ的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，與拋物線y=ax2+bx交于點C、D．已知點C的坐標(biāo)為（2，1），點D的橫坐標(biāo)為
1
2
．
（1）求點D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）拋物線在x軸上方部分是否存在一點P，使△POA的面積比△POB的面積大4？如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．
（4）將題中的拋物線y=ax2+bx沿x軸平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，請直接寫出平移的方向和距離．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知拋物線y=
3
4
x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點，A點的坐標(biāo)為（-1，0），過點C的直線y=
3
4t
x-3與x軸交于點Q，點P是線段BC上的一個動點，過P作PH⊥OB于點H．若PB=5t，且0＜t＜1．
（1）填空：點C的坐標(biāo)是______，b=______，c=______；
（2）求線段QH的長（用含t的式子表示）；
（3）依點P的變化，是否存在t的值，使以P、H、Q為頂點的三角形與△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

某校八年級（1）班共有學(xué)生50人，據(jù)統(tǒng)計原來每人每年用于購買飲料的平均支出是a元．經(jīng)測算和市場調(diào)查，若該班學(xué)生集體改飲某品牌的桶裝純凈水，則年總費用由兩部分組成，一部分是購買純凈水的費用，另一部分是其它費用780元，其中，純凈水的銷售價x（元/桶）與年購買總量y（桶）之間滿足如圖所示關(guān)系．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若該班每年需要純凈水380桶，且a為120時，請你根據(jù)提供的信息分析一下：該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水與個人買飲料，哪一種花錢更少？
（3）當(dāng)a至少為多少時，該班學(xué)生集體改飲桶裝純凈水一定合算從計算結(jié)果看，你有何感想？（不超過30字）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點C是半圓O的半徑OB上的動點，作PC⊥AB于C．點D是半圓上位于PC左側(cè)的點，連接BD交線段PC于E，且PD=PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4
3
，PC=8
3
，設(shè)OC=x，PD2=y．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)x=
3
時，求tanB的值．

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