Question

如圖，矩形ABDC中，AB∥x軸，AC∥y軸，反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象過點B，C，直線BC交x軸于點E，交y軸于點F．
（1）若點A的坐標為（1，2），求矩形ABCD的面積；
（2）在（1）的條件下，判斷線段BE與CF的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）若點A的坐標為（m，n），請直接寫出當m，n滿足什么關(guān)系時，線段CF，CB，BE相等．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由矩形ABDC中，AB∥x軸，AC∥y軸，點A的坐標為（1，2），則可得點B的縱坐標為2，點C的橫坐標為1，又由反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象過點B，C，即可求得B與C的坐標，繼而求得答案；
（2）首先設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得其解析式，繼而求得E，F(xiàn)的坐標，則可證得BE=CF；
（3）首先延長DC交y軸于點M，延長DB交軸于點N，易證得△FMC∽△CAB∽△BNE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）∵矩形ABDC中，AB∥x軸，AC∥y軸，點A的坐標為（1，2），
∴點B的縱坐標為2，點C的橫坐標為1，
∵反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象過點B，C，
∴B（3，2），C（1，6），
∴AB=3-1=2，AC=6-2=4，
∴S_矩形ABCD=AB•AC=8；

（2）BE=CF．
理由：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
把B，C的坐標代入得：

3k+b=2 k+b=6

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直線BC的解析式為：y=-2x+8，
∴點E（4，0），點F（0，8），
∴BE=

(4-3)2+(0-2)2

=

5

，CF=

(1-0)2+(6-8)2

=

5

，
∴BE=CF；

（3）延長DC交y軸于點M，延長DB交軸于點N，
∵矩形ABDC中，AB∥x軸，AC∥y軸，點A的坐標為（m，n），
∴點B的縱坐標為n，點C的橫坐標為m，
∵反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象過點B，C，
∴B（

6

n

，n），C（m，

6

m

），
∴CM=m，AB=

6

n

-m，AC=

6

m

-n，BN=n，
∵矩形ABDC中，AB∥x軸，AC∥y軸，
∴∠FMC=∠A=∠BNE=90°，∠FCM=∠CBA=∠BEN，
∴△FMC∽△CAB∽△BNE，
∴

CM

AB

=

FC

BC

，

BN

AC

=

BE

BC

，
∴若CF=CB=BE，
則CM=AB，BN=AC，
∴m=

6

n

-m，

6

m

-n=n，
∴2mn=6，
即mn=3．
∴當m，n滿足mn=3時，線段CF，CB，BE相等．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)求函數(shù)解析式、正方形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．