Question

已知：如圖，△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．
（1）如圖1，點(diǎn)C、D分別在邊OA、OB上，連接AD，BC，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，連接OM，請你猜想OM與AD的數(shù)量關(guān)系：______（直接寫出答案，不必證明）；
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，將△OCD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α（0°＜α＜90°）．
①OM與AD的數(shù)量關(guān)系是否仍成立，若成立請證明，若不成立請說明理由；
②求證：OM⊥AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）結(jié)合圖直接猜想出答案即可；
（2）①先延長BO到F，使FO=BO．連接CF，由M為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，得出MO為△BCF中位線，MO=，再由∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，得出∠AOD=∠COF，AO=OF，CO=DO，從而判斷△AOD≌△FOC，則CF=AD，所以MO=；
②由MO為△BCF中位線，得出MO∥CF，∠MOB=∠F，再由△AOD≌△FOC，∠MOB+∠AOM=90°，得出∠DAO=∠F，∠DAO+∠AOM=90°，從而證得結(jié)論．
解答：解：（1）猜想結(jié)論：（1分）
證明：∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OC=OD，OA=OB，CD∥AB，
∴AC=BD，
∵四邊形ABDC是等腰梯形，
∴AD=BC，
∵點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，
∴OM=BC，
∴OM=AD；

（2）①結(jié)論仍成立（2分）
證明：延長BO到F，使FO=BO．連接CF，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，O為BF中點(diǎn)，
∴MO為△BCF中位線，
∴MO=（3分），
∵∠AOB=∠AOF=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COF，
AO=OF，CO=DO，
∴△AOD≌△FOC（4分），
∴CF=AD，
∴MO=（5分）；

②證法一：∵M(jìn)O為△BCF中位線，
∴MO∥CF，
∴∠MOB=∠F（6分），
又∵△AOD≌△FOC，
∴∠DAO=∠F，
∵∠MOB+∠AOM=90°，
∴∠DAO+∠AOM=90°（7分），
即OM⊥AD．
證法二：
延長OM到E，使得ME=OM，連接BE，
易證△BEO≌△ODA
∴OE=AD
∴OM=1/2OE=1/2AD
由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO
∴∠DAO+∠AOM=∠EOB+∠AOM=90°
∴OM⊥AD．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、等腰直角三角形、三角形中位線定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，此題綜合性較強(qiáng)，適用于基礎(chǔ)較好的學(xué)生．