Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求畫圖（保留畫圖痕跡）：以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），則∠A′BC=90°，OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，則∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=90°；
（2）先判斷△BOO′為等邊三角形，所以O(shè)O′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，再證明點(diǎn)C、O、O′、A′共線，從而得到A′C=OC+OB+OA，然后利用勾股定理計(jì)算A′C即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$═$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∵將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B（得到A、O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、O′），
∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，
∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°；
（2）∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°
∴△BOO′為等邊三角形，
∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，
而∠BOC=120°，
∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，
∴點(diǎn)O′在直線CO上，
同理可得點(diǎn)O、O′、A′共線，
∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，
∵∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，
∴A′C=$\sqrt{B{C}^{2}+BA{′}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
即OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．
故答案為90°，$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解決（2）小題的關(guān)鍵是證明點(diǎn)C、O、O′、A′共線．