Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點C（1，-4），與x軸交于A、B兩點，A（-1，0）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線的對稱軸交于點E，依次連接A、D、B、E，點Q為線段AB上一個動點（Q與A、B兩點不重合），過點Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，請判斷

QF

BE

+

QG

AD

是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點H是線段EQ上一點，過點H作MN⊥EQ，MN分別與邊AE、BE相交于M、N，（M與A、E不重合，N與E、B不重合），請判斷

QA

QB

=

EM

EN

是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可將拋物線的解析式設(shè)為頂點式，然后將A點坐標代入，即可求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)兩對相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的對應(yīng)成比例線段，即可求出所求的代數(shù)式是否為定值；
（3）易證得△EMN∽△FQE，得

EM

EN

=

FQ

EF

①，下面證

QF

EF

=

QA

QB

，需通過構(gòu)建相似三角形求解；
過Q作QP⊥BE于P，則四邊形FQPE是矩形，F(xiàn)E=QP②；已知E在AB的垂直平分線上，可得：△AEB是等腰Rt△，進一步可知△AFQ、△QEB也是等腰Rt△；易證得△FAQ∽△PQB，得

QA

QB

=

QF

QP

③，聯(lián)立①②③即可證得所求的結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4，（1分）
將A（-1，0）代入解析式得：0=a（-1-1）²-4，
∴a=1，
∵拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3；（3分）

（2）是定值，

QF

BE

+

QG

AD

=1，（4分）
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∵QF⊥AE，
∴QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴

QF

BE

=

AQ

AB

，
同理：

QG

AD

=

QB

AB

，
∴

QF

BE

+

QG

AD

=

AQ

AB

+

QB

AB

=

AQ+QB

AB

=

AB

AB

=1；（6分）

（3）∵直線EC為拋物線的對稱軸，
∴EC垂直平分AB，
∴AE=EB，
∵∠AEB=90°，
∴△AEB為等腰直角三角形，
∴∠EAB=∠EBA=45°，（7分）
過點Q作QP⊥BE于P，如圖（8分）
由已知及作法可知，四邊形FQPE是矩形，
∴QP=FE且QP∥FE，
在△AQF和△QBP中，
∵∠EAB=∠BQP=45°，
∴QP=BP=FE且△AQF∽△QBP，
∴

QA

QB

=

QF

BP

，
∴

QA

QB

=

QF

BP

=

QF

FE

①，
在△QFE和△MEN中，
∵MN⊥EQ，
∴∠MNE+∠HEN=90°，
∵∠FEQ+∠HEN=90°，
∴∠MNE=∠FEQ，
又∵∠QFE=∠MEN=90°，
∴△EFQ∽△NEM，
∴

QF

FE

=

EM

EN

②，
由①、②知：

QA

QB

=

EM

EN

．（11分）

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識；（3）題中，能夠正確的根據(jù)已知和所求條件構(gòu)建出相似三角形是解題的關(guān)鍵．