Question

如圖，拋物線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），與軸相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)及線(xiàn)段分別交于點(diǎn)、，點(diǎn)在軸正半軸上，=2，連接、．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線(xiàn)的解析式．（不必說(shuō)明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

（1）拋物線(xiàn)的解析式為：；(2)點(diǎn)坐標(biāo)為或；(3) ①當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)的解析式為：；②當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)的解析式為：.

試題分析：
（1）將點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)函數(shù)中，可求出未知量，.則可求出該拋物線(xiàn)解析式；（2）由平行四邊形的性質(zhì)可知，，用含未知量的代數(shù)式表示的長(zhǎng)度。則可得點(diǎn)坐標(biāo) ；（3）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（或?qū)�角線(xiàn)的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分的面積．求得此直線(xiàn)，首先要求得對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo).則兩點(diǎn)坐標(biāo)可確定該直線(xiàn).
試題解析：
（1）點(diǎn)、在拋物線(xiàn)上，
∴，
解得，，拋物線(xiàn)的解析式為：．
（2）在拋物線(xiàn)解析式中，令，得，．
設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：
，解得，，∴．
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，
∴
四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，即，
解得或，
∴點(diǎn)坐標(biāo)為或．
（3）平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)中心為兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)（或?qū)�角線(xiàn)的中點(diǎn)），過(guò)對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分平行四邊形的面積，因此過(guò)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)中心的直線(xiàn)平分的面積．
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，又
設(shè)對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)為，則．
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：
，
解得， ，∴所求直線(xiàn)的解析式為：；
②當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)坐標(biāo)為，又，
設(shè)對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)為，則．
設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將，坐標(biāo)代入得：
，解得，，所求直線(xiàn)的解析式為:．
綜上所述，所求直線(xiàn)的解析式為：或．

【考點(diǎn)】1.一次函數(shù)解析式的解法；2.二次函數(shù)解析式的解法.