Question

【題目】如圖，已知直角坐標(biāo)系中，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，連接AB、AC．

（1）求過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）有一動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，交線段CA于點(diǎn)M，連接PA、PB，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=﹣8t2+32t+32，當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，且最大值為64；（3）H（，11），（， ）．

【解析】試題分析：（1）由于A（8，0），D（﹣1，0），故設(shè)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣8），將B（0，4）代入即可求得a，進(jìn)而求得拋物線的解析式為；

（2）四邊形PBCA可看作△ABC、△PBA兩部分；△ABC的面積是定值，關(guān)鍵是求出△PBA的面積表達(dá)式；若設(shè)直線l與直線AB的交點(diǎn)為Q，先用t表示出線段PQ的長，而△PAB的面積可由（PQOA）求得，在求出S、t的函數(shù)關(guān)系式后，由函數(shù)的性質(zhì)可求得S的最大值；

（3）根據(jù)已知條件得到∠HAB＜90°，①當(dāng)∠ABH=90°時(shí)，求得直線AB：y=﹣x+4，直線BH：y=2x+4，于是得到H（，11），②當(dāng)∠AHB=90°時(shí)，過B作BN⊥對(duì)稱軸于N，則BN=，AG=，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到HN=（負(fù)值舍去），于是得到H（， ）．

（1）∵A（8，0），D（﹣1，0），設(shè)過A、B、D三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣8），將B（0，4）代入得﹣8a=4，∴a=﹣，∴拋物線的解析式為，即 ；

（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，則OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣x+4；依題意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴當(dāng)t=2時(shí)，S有最大值，且最大值為64；

（3）存在，∵拋物線的對(duì)稱軸為：x==，∵直線x=垂直x軸，∴∠HAB＜90°，①當(dāng)∠ABH=90°時(shí)，由A（8，0）、B（0，4），得：直線AB：y=﹣x+4，所以，直線BH可設(shè)為：y=2x+h，代入B（0，4），得：h=4，∴直線BH：y=2x+4，當(dāng)x=時(shí)，y=11，∴H（，11），②當(dāng)∠AHB=90°時(shí)，過B作BN⊥對(duì)稱軸于N，則BN=，AG=，設(shè)對(duì)稱軸交x軸于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，∴△AHG∽△BHN，∴，∴，∴HN（HN+4）=，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解得：HN=（負(fù)值舍去），∴H（， ），綜上所述，H（，11），（， ）．