Question

如圖，△ABO中，OA=OB，以O為圓心的圓經過AB的中點C，且分別交OA、OB于點E、F．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若△ABO腰上的高等于底邊的一半，且AB=4

3

，求

ECF

的長．

Answer 1

分析：由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切線；
根據三角函數公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因為OA=OB，從而得出∠AOB=120度．由弧長公式可求得

ECF

的長為

4

3

π．

解答：（1）證明：連接OC．（1分）
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∵C在⊙O上，
∴AB是⊙O的切線．（2分）

（2）解：過B點作BD⊥AO，交AO的延長線于D點．
由題意有AB=2BD，AB=4

3

．
在Rt△ABD中，根據正弦定義sinA=

BD

AB

=

1

2

，
∴∠A=30度．（3分）
在Rt△ACO中，AC=

1

2

AB=2

3

，∠A=30°，
則AO=2OC．
由勾股定理，求得OC=2．（4分）
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120度．
由弧長公式可求得

ECF

的長為

4

3

π．（5分）

點評：此題考查學生對切線的判定，弧長公式，及解直角三角形的綜合運用能力．