【題目】(10分)如圖,已知AB是⊙O直徑,BC是⊙O的弦,弦ED⊥AB于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作⊙O的切線與ED的延長線交于點(diǎn)P.

(1)求證:PC=PG;

(2)點(diǎn)C在劣弧AD上運(yùn)動時,其他條件不變,若點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),試探究CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系,并寫出證明過程;

(3)在滿足(2)的條件下,已知⊙O的半徑為5,若點(diǎn)O到BC的距離為時,求弦ED的長.

【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)DE=4

【解析】

試題分析:(1)連結(jié)OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得OCPC,可得OCG+PCG=90°,由EDAB得B+BGF=90°,又因B=OCG,所以PCG=BGF,根據(jù)對頂角相等得BGF=PGC,

于是PGC=PCG,所以PC=PG;

(2)連結(jié)OG,由點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),根據(jù)垂徑定理的推論得OGBC,BG=CG,易證得RtBOGRtBGF,則BG:BF=BO:BG,即BG2=BOBF,把BG用CG代換得到CG2=BOBF;

(3)連結(jié)OE,OG=OG=,在RtOBG中,利用勾股定理計算出BG的長,再利用BG2=BOBF可計算出BF,從而得到OF=1的長,在RtOEF中,根據(jù)勾股定理計算出EF的長,由于ABED,根據(jù)垂徑定理可得EF=DF,再根據(jù)DE=2EF即可得DE的長.

試題解析:(1)證明:連結(jié)OC,如圖,

PC為O的切線,

OCPC,

∴∠OCG+PCG=90°

EDAB,

∴∠B+BGF=90°,

OB=OC,

∴∠B=OCG,

∴∠PCG=BGF,

BGF=PGC,

∴∠PGC=PCG,

PC=PG;

(2)解:CG、BF、BO三者之間的數(shù)量關(guān)系為CG2=BOBF.理由如下:

連結(jié)OG,如圖,

點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),

OGBC,BG=CG,

∴∠OGB=90°,

∵∠OBG=GBF,

RtBOGRtBGF,

BG:BF=BO:BG,

BG2=BOBF,

CG2=BOBF;

(3)解:連結(jié)OE,如圖,

由(2)得OGBC,

OG=,

在RtOBG中,OB=5,

BG==2,

由(2)得BG2=BOBF,

BF==4,

OF=1,

在RtOEF中,EF==2,

ABED,

EF=DF,

DE=2EF=4

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