Question

【題目】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝3，BC＝4，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；

（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．求證：△ABC是比例三角形；

（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC＝90°時，求出的值．

Answer 1

【答案】(1) 2或 或 （負根已經舍棄）．

【解析】

（1）根據(jù)比例三角形的定義分AB2＝BCAC、BC2＝ABAC、AC2＝ABBC三種情況分別代入計算可得；

（2）先證△ABC∽△DCA得CA2＝BCAD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；

（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知BH＝BD，再證△ABH∽△DBC得ABBC＝BHDB，即ABBC＝BD2，結合ABBC＝AC2知BD2＝AC2，據(jù)此可得答案；

（1）設AC＝m．

由題意m2＝3×4或32＝4m或42＝3m，

∴m＝2或或（負根已經舍棄）．

（2）∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC，

∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ADC∽△CAB，

∴，

∴ADBC＝AC2，

∵AD∥BC，

∴∠CBD＝∠ADB，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴ABBC＝AC2，

∴△ABC是比例三角形．

（3）如圖2中，作AH⊥BD．

可證△ABH∽△DBC，

∴＝，

∴ABBC＝BHBD，

∵AB＝AD，AH⊥BD于H，

∴BH＝DH＝BD，

∴BD＝2BH，

∴ABBC＝BD2，

∵ABBC＝AC2，

∴AC2＝BD2，

∵AC＞0，BD＞0，

∴＝，