Question

（1）如圖（1），在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°．
求證：①AC=BD；②∠APB=60°．
（2）如圖（2），在△AOB和△COD中，若OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，試探究：
①AC與BD的數(shù)量關系，并證明你的結論；②∠APB與α的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS）
由此可以得到AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠BPC=∠PAB+∠ABO+∠OBD，
=∠PAB+∠ABO+∠OAC，
=∠OAB+∠ABO，
=120°，
∴∠APB=60°；

（2）解：①AC=BD．
證明：OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
即AC=BD．
②∠APB=α．
證明：由△AOC≌△BOD可以得到∠OAC=∠OBD，
利用“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個外角的和”可以證明
即∠BPC=∠OBD+∠BOC+∠OCA，
=∠OAC+∠BOC+∠OCA，
=180°-α，
又∵∠APB=180°-∠BPC，
∴∠APB=α．
分析：（1）先證明△AOC≌△BOD（SAS）由此可以得到AC=BD，再通過角之間的轉(zhuǎn)化，即可求解∠APB的大��；
（2）證法同（1），只是把已知數(shù)用字母代替，解題方法沒有改變．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題以及角之間的轉(zhuǎn)化問題，能夠熟練掌握．