【題目】如圖1,菱形ABCD中,∠A=60°,點(diǎn)P從A出發(fā),以2cm/s的速度沿邊AB、BC、CD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止,點(diǎn)Q從A與P同時(shí)出發(fā),沿邊AD勻速運(yùn)動(dòng)到D終止,設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).△APQ的面積S(cm2)與t(s)之間函數(shù)關(guān)系的圖象由圖2中的曲線段OE與線段EF、FG給出.
(1)求點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度;
(2)求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式;
(3)問(wèn):是否存在這樣的t,使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1:5的兩部分?若存在,求出這樣的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s;(2);(3)存在,t=或t=.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)函數(shù)圖象中E點(diǎn)所代表的實(shí)際意義求解.E點(diǎn)表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合時(shí)的情形,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為3s,可得AB=6cm;再由S△APQ=,可求得AQ的長(zhǎng)度,進(jìn)而得到點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度;
(2)函數(shù)圖象中線段FG,表示點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至終點(diǎn)D之后停止運(yùn)動(dòng),而點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的情形.如答圖2所示,求出S的表達(dá)式,并確定t的取值范圍;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分,如答圖3所示,求出t的值;當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如答圖4所示,求出t的值.
試題解析:(1)由題意,可知題圖2中點(diǎn)E表示點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)的情形,所用時(shí)間為3s,則菱形的邊長(zhǎng)AB=2×3=6cm.此時(shí)如答圖1所示:
AQ邊上的高h=ABsin60°=6×=cm, S=S△APQ=AQh=AQ×3=,解得AQ=3cm.∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為:3÷3=1cm/s.(2)由題意,可知題圖2中FG段表示點(diǎn)P在線段CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)的情形.如答圖2所示:
點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D所需時(shí)間為:6÷1=6s,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C所需時(shí)間為12÷2=6s,至終點(diǎn)D所需時(shí)間為18÷2=9s.
因此在FG段內(nèi),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P在線段CD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng),且時(shí)間t的取值范圍為:6≤t≤9.過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則PE=PDsin60°=(18-2t)×,
S=S△APQ=ADPE=×6×(+)=.
∴FG段的函數(shù)表達(dá)式為:S=(6≤t≤9).
(3)菱形ABCD的面積為:6×6×sin60°=18,
當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),PQ將菱形ABCD分成△APQ和五邊形PBCDQ兩部分,如答圖3所示.
此時(shí)△APQ的面積S=AQAPsin60°=t2t×=,
根據(jù)題意,得=,
解得:t=s,
當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),PQ將菱形分為梯形ABPQ和梯形PCDQ兩部分,如答圖4所示.
此時(shí),有S梯形ABPQ=S菱形ABCD,即(2t-6+t)×6×=×18,
解得t=s,
答:存在,當(dāng)t=或時(shí),使PQ將菱形ABCD的面積恰好分成1:5的兩部分.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,已知∠ABC=120°,AC=4,
(1)用直尺和圓規(guī)作出△ABC的外接圓⊙O(不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);
(2)求∠AOC的度數(shù);
(3)求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
⑴求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);
⑵點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn),點(diǎn)F是其對(duì)稱軸上的點(diǎn),求以A,B,E,F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積;
⑶此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不為0)的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為N,我們稱以N為頂點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸且過(guò)點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線,直線MN為拋物線l的衍生直線.
(1)如圖,拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是 ,衍生直線的解析式是 ;
(2)若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求這條拋物線的解析式;
(3)如圖,設(shè)(1)中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點(diǎn)為M,與y軸交點(diǎn)為N,將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行,再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n,P是直線n上的動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△POM為直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】當(dāng)前,“低頭族”已成為熱門話題之一,為了了解路邊行人邊走路邊低頭看手機(jī)的情況,應(yīng)采用的收集數(shù)據(jù)的方式是_____;
A.對(duì)學(xué)校的同學(xué)發(fā)放問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查
B.對(duì)在路邊行走的學(xué)生隨機(jī)發(fā)放問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查
C.對(duì)在圖書(shū)館里看書(shū)的人發(fā)放問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查
D.對(duì)在路邊行走的路人隨機(jī)發(fā)放問(wèn)卷進(jìn)行調(diào)查
并說(shuō)出你的理由_____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)B(6,0)的直線AB與直線OA相交于點(diǎn)A(4,2),動(dòng)點(diǎn)M沿路線O→A→C運(yùn)動(dòng).
(1)求直線AB的解析式.
(2)求△OAC的面積.
(3)當(dāng)△OMC的面積是△OAC的面積的時(shí),求出這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】已知:如圖,拋物線y= x2+bx+c與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A( 1,0)、B(0,3)兩點(diǎn),其頂點(diǎn)為D.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)若拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E. 求△ODE的面積;拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P使得△PAB的周長(zhǎng)最短。若存在請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y= ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | ... | -3 | -2 | - 1 | 0 | 1 | ... |
y | ... | -6 | 0 | 4 | 6 | 6 | ... |
容易看出,(-2,0)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn),則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB與x軸交于點(diǎn)A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,﹣2).
(1)求直線AB的解析式;
(2)若直線AB上的點(diǎn)C在第一象限,且S△BOC=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
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