Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)E是此拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)F是其對稱軸上的點(diǎn)，求以A，B，E，F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積；

⑶此拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（0，2）（2）（3）（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

【解析】（1）分別令y=0，x=0，即可解決問題；（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，易知點(diǎn)E坐標(biāo)（﹣7，﹣ ）或（5，﹣），由此不難解決問題；（3）分A、C、M為頂點(diǎn)三種情形討論，分別求解即可解決問題．

解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，

x=﹣4或2，∴點(diǎn)A坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（﹣4，0），

令x=0，得y=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，2）．

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，

∵AB=EF=6，對稱軸x=﹣1，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為﹣7或5，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（﹣7，﹣ ）或（5，﹣），此時(shí)點(diǎn)F（﹣1，﹣）

∴以A，B，E，F為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積=6×=．

（3）如圖所示，

①當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，

在RT△CM1N中，CN==，

∴點(diǎn)M1坐標(biāo)（﹣1，2+），點(diǎn)M2坐標(biāo)（﹣1，2﹣）．

②當(dāng)M3為頂點(diǎn)時(shí)，

∵直線AC解析式為y=﹣x+2，線段AC的垂直平分線為y=x，

∴點(diǎn)M3坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．

③當(dāng)點(diǎn)A為頂點(diǎn)的等腰三角形不存在．

綜上所述點(diǎn)M坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1，2﹣）．

“點(diǎn)睛”本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法，學(xué)會(huì)分類討論的思想，屬于中考壓軸題．