Question

【題目】已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，拋物線的對稱軸為，為拋物線的頂點(diǎn)．

求拋物線的解析式．

拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)，求四邊形面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】；存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或；四邊形面積的最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【解析】

（1）由B、C的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線對稱軸，根據(jù)待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，t），則可表示出PC、PD和CD的長，由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關(guān)于t的方程，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）由B、C可求得直線BC解析式，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得EF的長，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形ACFB的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，及E點(diǎn)的坐標(biāo)．

∵點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，拋物線的對稱軸為，

∴，解得，

∴拋物線解析式為；

∵，

∴，且，

∵點(diǎn)為對稱軸上的一點(diǎn)，

∴可設(shè)，

∴，，，

∵為等腰三角形，

∴分、和三種情況，

①當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；

②當(dāng)時(shí)，則，解得或（與點(diǎn)重合，舍去），此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為；

③當(dāng)時(shí)，則，解得或，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為或或或；

∵，，

∴直線解析式為，

∵點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，

∴設(shè)，，

∵點(diǎn)在線段下方，

∴，

∴，且，

∴，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，

綜上可知四邊形面積的最大值，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．