【題目】已知△OBF 是直角三角形,∠BFO=90°,∠BOF=30°,△AOB 是等邊三角形,OB=4,點(diǎn) A 與點(diǎn) F 位于直線 OB 的異側(cè).

(Ⅰ)如圖①,求 BF 及 OF 的長(zhǎng);

(Ⅱ)點(diǎn) P 是直線OF 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接 AP,以點(diǎn) A 為旋轉(zhuǎn)中心,把△AOP 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使邊 AOAB 重合,得△ABD.

①如圖②,求在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使點(diǎn) D 落在線段 OF 上時(shí) OP 的長(zhǎng);

②求在點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,使點(diǎn) P 落在線段 OF 上,且△OPD 的面積等于時(shí) OP 的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

【答案】(1)(2)①

【解析】

(I)如圖①中,解直角三角形△OBF 即可;

(Ⅱ)①只要證明△PAD 是等邊三角形,OA⊥PD 即可解決問(wèn)題;

②如圖③中,過(guò)點(diǎn) B BE⊥OA 于點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn) D DH⊥x 軸于點(diǎn) H,延長(zhǎng) EB DH 于點(diǎn) G,則 BG⊥DH.根據(jù)三角形的面積公式構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題;

(I)如圖①中,

在 Rt△BOF 中,∵∠F=90°,∠BOF=30°,OB=4,

∴BF= OB=2,OF= =2

(Ⅱ)①如圖②中,

∵△AOB 是等邊三角形,

∴OA=OB=AB=4,∠OAB=∠AOB=60°

由旋轉(zhuǎn)可知:∠PAD=∠OAB=60°,AP=AD,

∴△APD 是等邊三角形,

∵∠AOD=∠AOB+∠BOF=90°,

∴OA⊥PD,

∴OP=OD,∠PAO=∠DAO=30°,

∴OP=OAtan30°=

②如圖③中,過(guò)點(diǎn) B 作 BE⊥OA 于點(diǎn) E,過(guò)點(diǎn) D 作 DH⊥x 軸于點(diǎn) H,延長(zhǎng) EB 交 DH 于點(diǎn) G,則 BG⊥DH.

設(shè) BD=OP=x,

在 Rt△DBG 中,∠DBG=60°,

∴DG=BDsin60°= x.

∴DH=2+ x.

∵△OPD 的面積等于 ,

x(2+ x)= ,

整理得:x2+4x﹣=0,

解得:x= (舍去).

∴OP=

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8m,寬是2m.按照?qǐng)D中所示的直角坐標(biāo)系,拋物線可以用yx2+bx+c表示,且拋物線上的點(diǎn)COB的水平距離為2m,到地面OA的距離為5m

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并計(jì)算出拱頂D到地面OA的距離;

(2)該隧道內(nèi)設(shè)雙行道,一輛貨車高4m,寬2.5m,能否安全通過(guò),為什么?

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【題目】在改革開(kāi)放30年紀(jì)念活動(dòng)中,某校學(xué)生會(huì)就同學(xué)們對(duì)我國(guó)改革開(kāi)放30年所取得的輝煌成就的了解程度進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖的一部分.

根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:

1)本次抽樣調(diào)查的樣本容量是 .調(diào)查中了解很少的學(xué)生占 %

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)若全校共有學(xué)生1300人,那么該校約有多少名學(xué)生很了解我國(guó)改革開(kāi)放30年來(lái)取得的輝煌成就.

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【題目】如圖,∠AOB90°,∠B30°,以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作弧交AB于點(diǎn)C,交OB于點(diǎn)D,若OA4,則陰影部分的面積為_____

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【題目】等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,∠BAC=∠DAE90°,AB4,AE2,其中△ABC固定,△ADE繞點(diǎn)A360°旋轉(zhuǎn),點(diǎn)F、M、N分別為線段BE、BCCD的中點(diǎn),連接MN、NF

問(wèn)題提出:(1)如圖1,當(dāng)AD在線段AC上時(shí),則∠MNF的度數(shù)為   ,線段MN和線段NF的數(shù)量關(guān)系為  

深入討論:(2)如圖2,當(dāng)AD不在線段AC上時(shí),請(qǐng)求出∠MNF的度數(shù)及線段MN和線段NF的數(shù)量關(guān)系;

拓展延伸:(3)如圖3,△ADE持續(xù)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,若CEBD交點(diǎn)為P,則△BCP面積的最小值為  

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【題目】在一次數(shù)學(xué)考試中,小明有一道選擇題(只能在四個(gè)選項(xiàng)A、B、C、D中選一個(gè))不會(huì)做,便隨機(jī)選了一個(gè)答案;小亮有兩道選擇題都不會(huì)做,他也隨機(jī)選了兩個(gè)答案.

(1)小明隨機(jī)選的這個(gè)答案,答對(duì)的概率是 ;

(2)通過(guò)畫(huà)樹(shù)狀圖或列表法求小亮兩題都答對(duì)概率是多少?

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【題目】從﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,﹣5,﹣6中任取一個(gè)數(shù)作為k的值,則能使分式方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解且使二次函數(shù)y=x2+2xk1的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)的概率為( 。

A.B.C.D.0

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【題目】如圖,一次函數(shù)yx+4的圖象與反比例函數(shù)y(k為常數(shù)且k0)的圖象交于A(1,a)B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C

(1)ak的值及點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)Px軸上,且SACPSBOC,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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