Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，AB=2，弦DE=1，直線AD與BE相交于點C，弦DE在⊙O上運動且保持長度不變，⊙O的切線DF交BC于點F．
（1）如圖1，若DE∥AB，求證：CF=EF；

（2）如圖2，當點E運動至與點B重合時，試判斷CF與BF是否相等，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，連接OD、OE，

∵AB=2，

∴OA=OD=OE=OB=1，

∵DE=1，

∴OD=OE=DE，

∴△ODE是等邊三角形，

∴∠ODE=∠OED=60°，

∵DE∥AB，

∴∠AOD=∠ODE=60°，∠EOB=∠OED=60°，

∴△AOD和△△OE是等邊三角形，

∴∠OAD=∠OBE=60°，

∴∠CDE=∠OAD=60°，∠CED=∠OBE=60°，

∴△CDE是等邊三角形，

∵DF是⊙O的切線，

∴OD⊥DF，

∴∠EDF=90°﹣60°=30°，

∴∠DFE=90°，

∴DF⊥CE，

∴CF=EF

（2）

相等；

如圖2，點E運動至與點B重合時，BC是⊙O的切線，

∵⊙O的切線DF交BC于點F，

∴BF=DF，

∴∠BDF=∠DBF，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∴∠FDC=∠C，

∴DF=CF，

∴BF=CF．

【解析】（1）如圖1，連接OD、OE，證得△OAD、△ODE、△OEB、△CDE是等邊三角形，進一步證得DF⊥CE即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理的相關(guān)知識點，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑才能正確解答此題．