Question

【題目】圖1是邊長(zhǎng)分別為4 和2的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和OD′E′疊放在一起（C與O重合）．
（1）操作：固定△ABC，將△ODE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，后得到△ODE，連接AD、BE、CE的延長(zhǎng)線交AB于F（圖2）： 探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）在（1）的條件下將△ODE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，平移后的△CDE設(shè)為△PQR，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（圖3）． 探究：設(shè)△PQR移動(dòng)的時(shí)間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍．
（3）將圖1中△ODE固定，把△ABC沿著OE方向平移，使頂點(diǎn)C落在OE的中點(diǎn)G處，設(shè)為△ABG，然后獎(jiǎng)△ABG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，邊BG交邊DE于點(diǎn)M，邊AG交邊DO于點(diǎn)N，設(shè)∠BGE=α（30°＜α＜90°）（圖4）． 探究：在圖4中，線段ONEM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請(qǐng)你求出ONEM的值，如果有變化，請(qǐng)你說(shuō)明．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=AD．

證明：如圖2，∵△ABC與△DCE是等邊三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE與△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴BE=AD

（2）解：如圖3，在△CQT中

∵∠TCQ=30°∠RQP=60°，

∴∠QTC=30°，

∴∠QTC=∠TCQ，

∴QT=QC=x，

∴RT=2﹣x，

∵∠RTS+∠R=90°

∴∠RST=90°

∴y= ×22﹣ （2﹣x）2=﹣ （2﹣x）2+ （0≤x≤2）

（3）解：ONEM的值不變，

理由為：如圖4，∵∠AGB=60°，

∴∠MGE+∠NGO=120°，

∵∠GNO+∠NGO=120°，

∴∠MGE=∠GNO，

∵∠E=∠O，

∴△EMG∽△OGN，

∴ = ，

∴ONEM=OGEG=1．

【解析】（1）可通過(guò)證三角形BEC和ACD全等來(lái)得出BE=AD；（2）由于重合部分的面積無(wú)法直接求出，因此可用△RPQ的面積減去△RST的面積來(lái)求得（S、T為RP、RQ與AC的交點(diǎn)）．△PRQ的面積易求得，關(guān)鍵是△RST的面積，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°﹣∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的長(zhǎng)即可．上面已經(jīng)求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ﹣QT=RQ﹣QC=3﹣x，然后根據(jù)△RTS中特殊角的度數(shù)，即可得出RS和ST的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）本題可通過(guò)證△GEM和△NGO相似來(lái)求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．