Question

已知：如圖，AD是△ABC的角平分線，過(guò)點(diǎn)D分別作AC和AB的平行線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形AEDF是菱形；
（2）若AE=5，AD=8，試求四邊形AEDF的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）解：連接EF，與AD交于點(diǎn)O，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴AD、EF互相垂直且平分，
∴OA=4
根據(jù)勾股定理，OE==3，
∴EF=6，
∴四邊形AEDF的面積=6×8÷2=24．
分析：（1）由已知易得四邊形AEDF是平行四邊形，由角平分線和平行線的定義可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四邊形AEDF是菱形；
（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，可得OA=4，根據(jù)勾股定理OE=3，∴EF=6，菱形ABCD的面積=6×8÷2=24．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的判定和性質(zhì)和面積計(jì)算．