Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4

2

，AD=

2

，且∠B=45°．將含45°角的直角三角尺的頂點(diǎn)E放在BC邊上滑動(dòng)，一直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與CD交于點(diǎn)F．若要使△ABE為等腰三角形，則CF的長應(yīng)等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BM的長度，再求出AB，然后分①AE=BE時(shí)，△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，求出BE的長，再求出CE的長，然后根據(jù)局等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；②AB=BE時(shí)，先求出CE的長度，再求出∠AEB的度數(shù)，再根據(jù)平角等于180°求出∠CEF，然后求出∠CFE，根據(jù)度數(shù)得到∠CEF=∠CFE，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CF=CE；③AB=AE時(shí)，判斷出△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過點(diǎn)D作DN⊥BC于N，

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4

2

，AD=

2

，
∴BM=

1

2

（BC-AD）=

1

2

（4

2

-

2

）=

3 2

2

，∠C=∠B=45°，
∵∠B=45°，
∴AB=

2

BM=

2

×

3 2

2

=3．
①如圖1，AE=BE時(shí)，∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=

2

2

AB=

3 2

2

，
∴CE=BC-BE=4

2

-

3 2

2

=

5 2

2

，
又∵∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-90°-45°=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF=

2

2

CE=

2

2

×

5 2

2

=

5

2

；
②如圖2，AB=BE時(shí)，∵∠B=45°，
∴∠AEB=

1

2

（180°-∠B）=

1

2

（180°-45°）=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∵BC=4

2

，BE=AB=3，
∴CF=CE=BC-BE=4

2

-3；
③如圖3，AB=AE時(shí)，∠AEB=∠B=45°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，
∴BE=

2

AB=3

2

，
CE=BC-BE=4

2

-3

2

=

2

，
∴CF=

2

CE=

2

×

2

=2；
綜上所述，CF的長為

5

2

或4

2

-3或2．
故答案為

5

2

或4

2

-3或2．

點(diǎn)評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟記定理是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于根據(jù)腰長的不同，分情況討論．