Question

設二次函數y=-x²+4x-3的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C．
（1）求A，B，C的坐標；
（2）在y軸上求作一點M，使MA+MC最小，并求出點M的坐標．

Answer 1

分析：1、把二次函數的解析式變形成頂點式，得到頂點C的坐標，令y=0．得到點A，B的坐標．
2、由于點A，B的坐標可以互換，故有兩種情況，求得點A的關于y軸的對稱點A′的坐標后，用待定系數法求得直線A′C的解析式，令x=0，求得直線與y軸的交點M的坐標．

解答：解：（1）∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點C（2，1），
令y=0．即-（x-2）²+1=0，
∴（x-2）²=1，x-2=±1，x=3或1，
∴函數與x軸交點坐標為（3，0）或（1，0），
∴A（3，0），B（1，0），C（2，1）或A（1，0），B（3，0），C（2，1）．
（2）①當A坐標為（3，0）時，A關于y軸對稱點A′（-3，0），
設A′C的解析式為y=kx+b，
∴k=

1

5

，b=

3

5

，
∴A′C的解析式為y=

1

5

x+

3

5

，與y軸交點為M（0，

3

5

），
∴M在y軸上，使MA+MC最小時M點坐標為（0，

3

5

）；
②當A坐標為（1，0）時，同理可求得M坐標為（0，

1

3

）
∴滿足題意的M點坐標為（0，

3

5

）或（0，

1

3

）．

點評：本題考查了二次函數的圖象與x軸的交點和頂點的坐標的求法，和用待定系數法確定直線的解析式的方法．