Question

設(shè)二次函數(shù)y=-x²+4x-3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C．
（1）求A，B，C的坐標(biāo)；
（2）在y軸上求作一點(diǎn)M，使MA+MC最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：1、把二次函數(shù)的解析式變形成頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，令y=0．得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．
2、由于點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可以互換，故有兩種情況，求得點(diǎn)A的關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)后，用待定系數(shù)法求得直線A′C的解析式，令x=0，求得直線與y軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴頂點(diǎn)C（2，1），
令y=0．即-（x-2）²+1=0，
∴（x-2）²=1，x-2=±1，x=3或1，
∴函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（1，0），
∴A（3，0），B（1，0），C（2，1）或A（1，0），B（3，0），C（2，1）．
（2）①當(dāng)A坐標(biāo)為（3，0）時(shí)，A關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)A′（-3，0），
設(shè)A′C的解析式為y=kx+b，
∴k=

1

5

，b=

3

5

，
∴A′C的解析式為y=

1

5

x+

3

5

，與y軸交點(diǎn)為M（0，

3

5

），
∴M在y軸上，使MA+MC最小時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

5

）；
②當(dāng)A坐標(biāo)為（1，0）時(shí)，同理可求得M坐標(biāo)為（0，

1

3

）
∴滿足題意的M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

3

5

）或（0，

1

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，和用待定系數(shù)法確定直線的解析式的方法．