Question

如圖，已知在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，cos∠BAC=

4

5

，分別以AB、AC為底邊向三角形ABC的外側(cè)作等腰三角形ADB和等腰三角形CEA，且AD⊥AC，AE⊥AB，連接DE，交AB于點(diǎn)F，
（1）求

S△ADB

S△AEC

的值；
（3）求

AF

FB

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,平行四邊形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：幾何綜合題

分析：（1）先根據(jù)∠DAC=∠BAE=90°，得出∠DAB=∠EAC，再根據(jù)AD=BD，AE=EC，得出∠DBA=∠ECA，從而證出△ADB∽△AEC，得出

S△ADB

S△AEC

=(

AB

AC

)2，最后根據(jù)cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，即可求出

S△ADB

S△AEC

的值；
（2）先過點(diǎn)E作EH⊥AC，延長交AB于G，連接DG，得出AH=CH，EH⊥AC，根據(jù)∠BCA=90°，證出GH∥BC，AG=BG，再根據(jù)AD=BD，得出DG⊥AB，最后根據(jù)AD⊥AC，AE⊥AB，得出GE∥AD，DG∥AE，
從而證出四邊形ADGE是平行四邊形，得出AF=GF，即可求出答案．

解答：證明：（1）∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴∠DAC=∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AD=BD，AE=EC，
∴∠DAB=∠DBA，∠ECA=∠EAC，
∴∠DBA=∠ECA，
∴△ADB∽△AEC，
∴

S△ADB

S△AEC

=(

AB

AC

)2，
∵∠BCA=90°，
cos∠BAC=

4

5

=

AC

AB

，
∴

S△ADB

S△AEC

=

25

16

；

（2）過點(diǎn)E作EH⊥AC，延長交AB于G，連接DG，
∵AE=EC，
∴AH=CH，EH⊥AC，
∵∠BCA=90°，
∴GH∥BC，
∴AG=BG，
∵AD=BD，
∴DG⊥AB，
∵AD⊥AC，AE⊥AB，
∴GE∥AD，DG∥AE，
∴四邊形ADGE是平行四邊形，
∴AF=GF，
∴

AF

FB

=

1

3

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)是等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)和解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定證出△ADB∽△AEC．