以邊長為a的正方形ABCD的對(duì)角線AC長為半徑，以點(diǎn)A為圓心作弧交AB邊的延長線于點(diǎn)E，交AD邊的延長線于點(diǎn)F，得扇形AECF，把扇形AECF的面積稱為正方形ABCD面積的擴(kuò)展；再以線段AE為一邊作正方形AEGH，以對(duì)角線AG的長為半徑，點(diǎn)A為圓心畫弧交AE邊的延長線于點(diǎn)M，交AH邊的延長線于點(diǎn)N，得扇形AMGN，則扇形AMGN的面積是正方形AEGH面積的擴(kuò)展，按此法依次進(jìn)行到如圖所示，叫做正方形ABCD面積的第一次擴(kuò)展．按這種方法可進(jìn)行第二次擴(kuò)展，直到第n次擴(kuò)展
（1）求第一次擴(kuò)展中各扇形面積之和S1；
（2）求第二次擴(kuò)展中各扇形面積之和S2（第二次擴(kuò)展的第一個(gè)正方形是以第一次擴(kuò)展的最后一個(gè)扇形半徑為邊長的正方形）；
（3）求第n次擴(kuò)展中各扇形面積之和Sn．

解：（1）根據(jù)勾股定理可知半徑為a；
第一次擴(kuò)展半徑為2a；
第三次擴(kuò)展的半徑為2a；
第四次為4a；
根據(jù)扇形面積可知第一次擴(kuò)展中各扇形面積之和
S1=+++=a2π．

（2）第二次擴(kuò)展中各扇形的半徑分別是a，8a，a，16a，
根據(jù)扇形面積可得第二次擴(kuò)展中各扇形面積之和
S2=+++=120πa2．

（3）從第一次和第二次中要找到規(guī)律，
第二次是第一次的16倍，
所以第三次就是16的2倍，即162-1，
第n次就是16n-1．
所以第n次擴(kuò)展中各扇形面積之和Sn=16n-1πa2．
分析：（1）根據(jù)扇形的面積公式和勾股定理可計(jì)算出扇形的面積；
（2）分別計(jì)算出各扇形的半徑，利用扇形面積公式計(jì)算；
（3）從第一次和第二次中要找到規(guī)律，第二次是第一次的16倍，所以第三次就是16的2倍，即162-1，
第n次就是16n-1．
點(diǎn)評(píng)：在第一二次中主要是根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算，在第三次中卻要從第一次和第二次中找到規(guī)律進(jìn)行計(jì)算．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，以邊長為1的正方形的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，再以所得四邊形四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)作四邊形，…依次作下去，圖中所作的第三個(gè)四邊形的周長為
 
；所作的第n個(gè)四邊形的周長為
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，以邊長為
2
的正方形ABCD的對(duì)角線所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B精英家教網(wǎng)且與直線AB只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（1）求直線AB的解析式．
（2）求拋物線y=x2+bx+c的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•邯鄲一模）如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑做⊙O，交對(duì)角線AC于點(diǎn)E．
（1）線段AE=
4
2
4
2
．
（2）如圖2，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作∠DAM=30°，交CD于點(diǎn)M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖3），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜150°），旋轉(zhuǎn)過程中AD與⊙O交于點(diǎn)F，
①當(dāng)α=30°時(shí)，請(qǐng)求出線段AF的長；
②當(dāng)α=60°時(shí)，求出線段AF的長；判斷此時(shí)DM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
③當(dāng)α=
90°
90°
 時(shí)，DM與⊙O相切．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以邊長為1的正方形的對(duì)角線長為邊長的新的正方形的面積為
2
2
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

以邊長為4的正方形的對(duì)角線建立平面直角坐標(biāo)系，其中一個(gè)頂點(diǎn)位于y軸的負(fù)半軸上，則該點(diǎn)的坐標(biāo)為（　�。�

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