Question

（2012•邯鄲一模）如圖1，以邊長(zhǎng)為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑做⊙O，交對(duì)角線AC于點(diǎn)E．
（1）線段AE=

4

2

．
（2）如圖2，以點(diǎn)A為端點(diǎn)作∠DAM=30°，交CD于點(diǎn)M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖3），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜150°），旋轉(zhuǎn)過(guò)程中AD與⊙O交于點(diǎn)F，
①當(dāng)α=30°時(shí)，請(qǐng)求出線段AF的長(zhǎng)；
②當(dāng)α=60°時(shí)，求出線段AF的長(zhǎng)；判斷此時(shí)DM與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
③當(dāng)α=

90°

 時(shí)，DM與⊙O相切．

Answer 1

分析：（1）連接BE，則可得出△AEB是等腰直角三角形，再由AB=8，可得出AE的長(zhǎng)．
（2）①連接OA、OF，可判斷出△OAF是等邊三角形，從而可求出AF的長(zhǎng)；②此時(shí)可得DAM=30°，根據(jù)AD=8可求出AF的長(zhǎng)，也可判斷DM與⊙O的位置關(guān)系；③根據(jù)AD等于⊙O的直徑，可得出當(dāng)DM與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)D在⊙O上，從而可得出α的度數(shù)．

解答：解：（1）
連接BE，
∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，
∴∠BAC=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴AE=4

2

；
（2）①
連接OA、OF，
由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，
故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，
則∠OAF=60°，
又∵OA=OF，
∴△OAF是等邊三角形，
∵OA=4，
∴AF=OA=4；
②
連接B'F，此時(shí)∠NAD=60°，
∵AB'=8，∠DAM=30°，
∴AF=AB'cos∠DAM=8×

3

2

=4

3

；
此時(shí)DM與⊙O的位置關(guān)系是相離；
③
∵AD=8，直徑的長(zhǎng)度相等，
∴當(dāng)DM與⊙O相切時(shí)，點(diǎn)D在⊙O上，
故此時(shí)可得α=∠NAD=90°．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于圓的綜合題，主要是仔細(xì)觀察每一次旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)含30°角的直角三角形進(jìn)行計(jì)算，另外在解答最后一問(wèn)時(shí)，關(guān)鍵是判斷出點(diǎn)D的位置，有一定難度．