Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中拋物線交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C， A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1和3，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為-4.

（1）求拋物線的解析式；

（2）動(dòng)點(diǎn)D在第四象限且在拋物線上，當(dāng)△BCD面積最大時(shí)，求D點(diǎn)坐標(biāo)，并求△BCD面積的最大值；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得∠QBC=45°，如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，不存在說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（，-5），最大值；（3）（1，）.

【解析】

（1）將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，即可求出；

（2）作DH垂直AB于H，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則有OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，由 ，，化簡(jiǎn)即可出；

（3）由函數(shù)關(guān)系式：化簡(jiǎn)得對(duì)稱軸為，作出對(duì)稱軸，交x軸于F點(diǎn)，連接CB，交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，求出BC的函數(shù)解析式，則可以知道E點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，），所以存在一點(diǎn)Q，使得∠QBC=45°，并且點(diǎn)Q在FE之間，設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，），求出線段 的斜率，線段 的斜率 ，利用兩直線相交交角為，得到，化簡(jiǎn)即可。

解：（1）由圖像可知：A，B，C，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（3，0），（0，-4），

將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線

得： ，解之得：

∴拋物線的解析式為：；

（2）如圖，作DH垂直AB于H，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），

則有：OC=4，OB=3，OH=x，HD=-y，HB=3-x，

∴梯形CDHO為直角梯形，

∴

即：

又∵D點(diǎn)在拋物線上，

∴

∴當(dāng)時(shí)，△BCD面積有最大值，是，

∴

所以D點(diǎn)坐標(biāo)為：（，-5）；

（3）由函數(shù)關(guān)系式：化簡(jiǎn)得：，

∴對(duì)稱軸為：，

如圖示：作出對(duì)稱軸，交x軸于F點(diǎn)，連接CB，交對(duì)稱軸于E點(diǎn)，

∴由B，C，的坐標(biāo)分別是（3，0），（0，-4），設(shè)BC的函數(shù)解析式為：

則： ，解之得：

∴BC的函數(shù)解析式為：，當(dāng)時(shí)，，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，），

∴BF=2，FE=，

∴ ，

即：

∴存在一點(diǎn)Q，使得∠QBC=45°，并且點(diǎn)Q在FE之間，

設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，）

∴， ，

∵直線BQ和BC的交角為，

∴

即：

化簡(jiǎn)得： ，

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，）