Question

如圖，已知點(diǎn)E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，且D在以AE為直徑的⊙O上．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）已知∠B=30°，CD=4，求線段AB的長(zhǎng)．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】切線的判定；勾股定理．

【專題】證明題．

【分析】（1）連結(jié)OD，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD=∠CAD，而∠OAD=∠ODA，則∠ODA=∠CAD，于是判斷OD∥AC，由于∠C=90°，所以∠ODB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

（2）由∠B=30°得到∠BAC=60°，則∠CAD=30°，在Rt△ADC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=4，然后在Rt△ABC中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到AB=8．

【解答】（1）證明：連結(jié)OD，如圖，

∵∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，

∴∠BAD=∠CAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODB=90°，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵∠B=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAD=30°，

在Rt△ADC中，DC=4，

∴AC=DC=4，

在Rt△ABC中，∠B=30°，

∴AB=2AC=8．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．