Question

（2012•包河區(qū)一模）我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是；勾是五時，股和弦的算式分別是．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系運用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關(guān)系，并驗證；
（3）發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關(guān)系即是勾的一半的平方再減1．
解答：解：（1）；

（2）當n≥3，且n為奇數(shù)時，勾、股、弦分別為：n，
它們之間的關(guān)系為：（�。┫�-股=1，（ⅱ）勾²+股²=弦²
如證明（ⅰ），弦-股=；

（3）當m＞4，且m為偶數(shù)時，勾、股、弦分別為：m，，它們的股和弦．
點評：能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示推廣到一般．