Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx與x軸的正半軸交于點A，拋物線的頂點為B，直線y=kx-6k經(jīng)過點A、B兩點，且tan∠BAO=3．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P在第一象限內對稱軸右側的拋物線上，其橫坐標為t，連接OP，交對稱軸于點C，過點C作CD∥x軸，交直線AB于點D，連接PD，設線段PD的長為d，求d與x之間的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點E在線段BC上，連接EP，交BD于點F，點G是BE的中點，過點G作GQ∥x軸，交PE的延長線于點Q，當∠OPQ=2∠AOP，且EF=PF時，求點P、Q的坐標，并判斷此時點Q是否在（1）中的拋物線上．

Answer 1

分析 （1）過點B作BC⊥OA垂足為C．令y=0可求得點A的坐標，由拋物線的對稱性可得到AC=3，然后依據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義可得到BC的長，從而得到點B的坐標；將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式，可求得a、b的值，于是可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線AB的解析式，設P的坐標為（t，-t²+6t），可求得直線OP的解析式為y=（-t+6）x，接下來，求得點C的縱坐標，從而得到D點的縱坐標為-3t+18．接下來將點D點的縱坐標代入直線AB的解析式可求得點D的橫坐標，然后根據(jù)P點和D點的橫坐標相同，可至PD的長等于P、D兩點的縱坐標之差；
（3）延長PQ交y軸于點H，過點P作PM∥x軸．先證明∠PMH=∠PMO，于是可證明△PHM≌△POM，由全等三角形的性質可得到HM=OM，設P（a，-a²+6a），則H（0，-2a²+12a）．接下來，求得PH的解析式（用含a的式子表示）；于是可求得點E的縱坐標為，由中點坐標公式可求得F的坐標（用含a的式子表示），將F的坐標代入直線AB的解析式可求得a的值，于是可求得點P的坐標、PH的解析式、點E的坐標，然后依據(jù)中點坐標公式可求得點G的坐標，從而得到點Q的縱坐標，然后將點Q的縱坐標代入PH的解析式可求得點Q的橫坐標，于是可求得點Q的坐標，最后將點Q的坐標代入拋物線的解析式即可作出判斷．

解答 解：（1）如圖1所示：過點B作BC⊥OA垂足為C．

令y=0得：kx-6k=0，
∵k≠0，
∴x=6．
∴A（6，0）．
∵拋物線經(jīng)過O（0，0）、A（6，0）且B為拋物線的頂點，
∴AC=3．
∵tan∠BAO=3，
∴BC=9．
∴B（3，9）．
∵將B（3，9）、A（6，0）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=9}\\{36a+6b=0}\end{array}\right.$，解得：b=6，a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x．
（2）如圖2所示：

設直線AB的解析式為y=kx+b．
∵將點A、B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{3k+b=9}\end{array}\right.$，解得：b=18，k=-3，
∴直線AB的解析式為y=-3x+18．
設P的坐標為（t，-t²+6t），OP的解析式為y=kx．
∵將點P的坐標代入得：tk=-t²+6t，解得：k=-t+6，
∴OP的解析式為y=（-t+6）x．
∵將x=3代入OP得解析式得：y=-3t+18，
∴C（3，-3t+18）．
∵CD∥x軸，
∴點D的縱坐標為-3t+18．
∵將y=-3t+18代入直線AB的解析式得：-3t+18=-3x+18，
∴x=t．
∴D（t，-3t+18）．
∴d=-t²+6t-（-3t+18）=-t²+9t-18．
如圖3所示：延長PQ交y軸于點H，過點P作PM∥x軸．

∵PM∥x軸，
∴∠MPO=∠AOP．
∵∠OPQ=2∠AOP，
∴∠HPM=∠OPM．
又∵PM⊥y軸，
∴∠PMH=∠PMO．
在△PHM和△POM中$\left\{\begin{array}{l}{∠HPM=∠OPM}\\{PM=PM}\\{∠PMH=∠PMO}\end{array}\right.$，
∴△PHM≌△POM．
∴HM=OM．
設P（a，-a²+6a），則H（0，-2a²+12a）．設PH的解析式為y=kx-2a²+12a．
∵將點P的坐標代入得：ka-2a²+12a=-a²+6a，解得：k=a-6，
∴直線PH的解析式為y=（a-6）x-2a²+12a．
∵將x=3代入PH得解析式得y=-2a²+15a-18，
∴點E的縱坐標為-2a²+15a-18．
∵F是EP的中點，
∴F_y=$\frac{-2{a}^{2}+15a-18-{a}^{2}+6a}{2}$=-$\frac{3}{2}$a²+$\frac{21}{2}$a-9，F(xiàn)_x=$\frac{3+a}{2}$．
∵將F_x=$\frac{3+a}{2}$代入AB的解析式得：F_y=-3×$\frac{3+a}{2}$+18，
∴-$\frac{3}{2}$a²+$\frac{21}{2}$a-9=-3×$\frac{3+a}{2}$+18，整理得：a²-8a+15=0，解得a=5或a=3（舍去）．
∵當a=5時，-a²+6a=-25+30=5，
∴點P的坐標為（5，5）．
∵a=5，
∴直線PH的解析式得y=-x+10．
∵將a=5代入-2a²+15a-18得：-2a²+15a-18=-2×25+15×5-18=7，
∴點E的坐標為（3，7）．
∵點G為BE的中點，
∴點G的坐標為（3，8）．
∵QG∥x軸，
∴點Q的縱坐標為8．
∵將y=8代入y=-x+10得：-x+10=8，解得：x=2，
∴點Q的坐標為（2，8）．
∵將x=2代入y=-x²+6x得：y=-4+12=8，
∴Q是在（1）中的拋物線上．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，函數(shù)與坐標軸的交點、全等三角形的性質和判定，設出點P的坐標，然后用含a的式子表示相關直線的解析式、以及點F的坐標是解題的關鍵．