Question

15．已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D為BC弦的中點，連接OB、OD．
（1）如圖1，求證：∠BOD=∠BAC；
（2）如圖2，過點B作BE⊥AC于點F，連接AF，求證AF=2OD；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接DE并延長，交AF弦于點G，連接OE并延長，交AF的延長線于點H，若AG=4FG，BC=4EG，OE=5，求線段FH的長．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出答案；
（2）過O作OK⊥AF于點K，連接AO，利用已知得出△OBD≌△AOK，進(jìn)而得出答案；
（3）首先證明四邊形OMGK是矩形，進(jìn)而得出BD=DE=8，MO=3，F(xiàn)G=2，再得出△OEM≌△HEG，進(jìn)而得出答案．

解答 （1）證明：如圖1，連接CO，
∵BO=CO，D是BC的中點，
∴DO平分∠BOC，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∴∠BOD=∠BAC；

（2）證明：如圖2，過O作OK⊥AF于點K，連接AO，則AF=2AK，
∵AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）=90°-$\frac{1}{2}∠AOB$，
∵∠AFB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠FAC=90°-∠AFB=90°-$\frac{1}{2}∠AOB$，
∴∠OAB=∠FAC，
∴∠OAK=∠FAC+∠OAC=∠OAB+∠OAC=∠BAC=∠BOD，
在△OBD和△AOK中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDO=∠OKA}\\{∠DOB=∠KAO}\\{BO=AO}\end{array}\right.$，
∴△OBD≌△AOK，
∴AK=DO．
∴AF=2OD；

（3）解：如圖3，過O作OM⊥DG于點M，由（2）可知MG=KO=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∵BC=4EG，
∴MG=2EG，
∴EM=EG，
∵∠BEC=90°，BD=CD，
∴ED=BD=CD，
∴∠GEF=∠BED=∠DBE=∠CAF，
∵∠CAF+∠F=90°，
∴∠GEF+∠F=90°，
∴∠EGK=∠EGF=90°，
∴四邊形OMGK是矩形，
∵AK=KF，AG=2FG，
設(shè)FG=2x，則AG=8x，AK=KF=5x，KG=3x，
∴MO=3x，
∵AF=2DO，
∴DO=5x，
∴DM=4x，
∵tan∠EAG=tan∠GEF，
∴$\frac{GF}{EG}$=$\frac{EG}{AG}$，
∴EG=4x，
在Rt△OME中，（4x）²+（3x）²=5²，
解得：x=-1（舍去）或x=1，
∴BD=DE=8，MO=3，F(xiàn)G=2，
在△OEM和△HEG中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OME=∠EGH}\\{ME=GE}\\{∠MEO=∠GEH}\end{array}\right.$，
∴△OEM≌△HEG，
∴GH=MO=3，
∴HF=HG-FG=3-2=1．

點評 此題主要考查了圓的綜合以及全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定等知識，熟練應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．