Question

已知△ABC：（1）如圖1，BO、CO分別為∠ABC，∠ACB的平分線，相交于O．
①如果∠ABC=50°，則∠OBC=______度；
②試說明∠BOC=90°+∠A．
（2）知識擴展：如圖2，若BP、CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，相交于點P，設(shè)∠A=x°，求∠BPC度數(shù)（用含x的代數(shù)式表示）．

Answer 1

解：（1）①∵BO平分∠ABC，
∴∠OBC=∠ABC=25°；
②∵OB、OC分別為∠ABC，∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∵∠A=180°-（∠ABC+∠ACB），
∴∠A=180°-2（∠OBC+∠OCB），
∴∠A=180°-2（180°-∠BOC），
∴∠A=-180°+2∠BOC，
∴2∠BOC=180°+∠A，
∴∠BOC=90°+∠A．

（2）∵BP、CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，
∴∠CBP=∠CBM，∠BCP=∠BCN，
∴∠CBP+∠BCP
=∠CBM+∠BCN
=（∠CBM+∠BCN）
=（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=（180°+∠A），
∴∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）
=180°-（180°+∠A）
=90°-∠A
=90°-x°．
分析：（1）①根據(jù)角平分線的定義進行求解；②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的定義進行證明．
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及其推論以及角平分線的定義進行證明．
點評：此題綜合運用了三角形的內(nèi)角和定理及其推論和角平分線的定義．