【題目】如圖,點E在以AB為直徑的⊙O上,點C是 的中點,過點C作CD垂直于AE,交AE的延長線于點D,連接BE交AC于點F.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若cos∠CAD= ,BF=15,求AC的長.

【答案】
(1)證明:連接OC,如圖1所示.

∵點C是 的中點,

=

∴OC⊥BE.

∵AB是⊙O的直徑,

∴AD⊥BE,

∴AD∥OC.

∵AD⊥CD,

∴OC⊥CD,

∴CD是⊙O的切線.


(2)解:過點O作OM⊥AC于點M,如圖2所示.

∵點C是 的中點,

= ,∠BAC=∠CAE,

=

∵cos∠CAD=

= ,

∴AB= BF=20.

在Rt△AOM中,∠AMO=90°,AO= AB=10,cos∠OAM=cos∠CAD= ,

∴AM=AOcos∠OAM=8,

∴AC=2AM=16.


【解析】(1)連接OC,由點C是 的中點利用垂徑定理可得出OC⊥BE,由AB是⊙O的直徑可得出AD⊥BE,進而可得出AD∥OC,再根據(jù)AD⊥CD可得出OC⊥CD,由此即可證出CD是⊙O的切線.(2)過點O作OM⊥AC于點M,由點C是 的中點利用圓周角定理可得出∠BAC=∠CAE,根據(jù)角平分線的定理結(jié)合cos∠CAD= 可求出AB的長度,在Rt△AOM中,通過解直角三角形可求出AM的長度,再根據(jù)垂徑定理即可得出AC的長度.
【考點精析】本題主要考查了解直角三角形的相關(guān)知識點,需要掌握解直角三角形的依據(jù):①邊的關(guān)系a2+b2=c2;②角的關(guān)系:A+B=90°;③邊角關(guān)系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能正確解答此題.

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1)這條公路的總長度是______米;

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