Question

12．【定義】
若一個四邊形恰好關于其中一條對角線所在的直線對稱，則我們將這個四邊形叫做鏡面四邊形．
【理解】
（1）下列說法是否正確（對的打“√”，錯的打“×”）．
①平行四邊形是一個鏡面四邊形．（×　）
②鏡面四邊形的面積等于對角線積的一半．（√　）
（2）如圖（1），請你在4×4的網格（每個小正方形的邊長為1）中畫出一個鏡面四邊形，使它圖（1）的頂點在格點上，且有一邊長為$\sqrt{5}$．
【應用】
（3）如圖（2），已知鏡面四邊形ABCD，∠BAD=60°，∠ABC=90°，AB≠BC，P是AD上一點，AE丄BP于E，在BP的延長線上取一點F，使EF=BE，連接AF，作∠FAD的平分線AG交BF于G，CM丄BF于M，連接CG．
①求∠EAG的度數．
②比較BM與EG的大小，并說明理由．
③若以線段CB，CG，AG為邊構成的三角形是直角三角形，求cos∠CBM的值（直接寫出答案）．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的性質和鏡面四邊形的定義，直接判斷；
（2）由鏡面四邊形的意義，得到必有兩邊是$\sqrt{5}$，一個直角，畫出圖形即可
（3）①根據角平分線的定義得到∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，∠GAF=$\frac{1}{2}$∠FAD計算；②先判斷△ABE∽△BCM，通過計算判斷出BM=EG，③分兩種情況，AG和CG為斜邊，利用勾股定理計算即可．

解答 解：（1）①∵平行四邊形不關于任何一條對角線對稱，
∴錯誤，
故答案×；
②∵鏡面四邊形關于對角線對稱，
∴鏡面四邊形的兩條對角線互相垂直，
∴鏡面四邊形的面積等于對角線積的一半；
故答案為√．
（2）如圖1

∵有一邊長為$\sqrt{5}$．
∴鏡面四邊形必有兩邊是$\sqrt{5}$．
（3）①∵AE⊥BP，EF=BE，
∴AB=AF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAF，
∵∠GAF=$\frac{1}{2}$∠FAD，
∴∠EAG=∠EAF-∠GAF=$\frac{1}{2}$∠BAF-$\frac{1}{2}$∠FAD=$\frac{1}{2}$∠BAD=30°；
②BM=EG，
理由如下：連接AC，
∵∠ABC=90°，
∴AB=$\sqrt{3}$BC，
∵∠ABC=∠AEB=∠CMB=90°，
∴∠BAE+∠ABF=∠ABP+∠ABF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE∽△BCM，
∴$\frac{AE}{BM}$=$\frac{AB}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BM，
∵∠EAG=30°，AE⊥BP，
∴AE=$\sqrt{3}$EG，
∴BM=EG；
③cos∠CBM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$或$\frac{\sqrt{10}}{4}$
設BM=x，BC=y，
∴CM=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，
∵△ABE∽△BCM，
∴$\frac{AE}{BM}=\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CM}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{3}$BM，AB=$\sqrt{3}$BC=$\sqrt{3}$y，BE=$\sqrt{3}$y=$\sqrt{3（{y}^{2}-{x}^{2}）}$，
∴BG=BE+EG=$\sqrt{3（{y}^{2}-{x}^{2}）}$+x，
∵EG=BM=x
MG=BE=y=$\sqrt{3（{y}^{2}-{x}^{2}）}$，
∴CG=$\sqrt{M{C}^{2}+M{G}^{2}}$=2$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，
∵AE⊥BP，∠EAG=30°，
∴AG=2EG=2x，
由題意得AG＞BC，
以線段CB，CG，AG為邊構成的三角形是直角三角形，只有兩種AG為斜邊或CG為斜邊；
①AG為斜邊，
∴CB²+CG²=AG²，
∴y²+（2$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$）²=（2x）²，
∴y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x或y=-$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x（舍），
∴BM=x，BC=y=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$x，
∴cos∠CBM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
②CG為斜邊，
∴CB²+AG²=CG²，
∴y²+（2x）²=（2$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$）²，
∴y=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x或y=-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x（舍），
∴BC=y=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$x，BM=x，
∴cos∠CBM=$\frac{BM}{BC}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；
cos∠CBM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$或$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的性質，角平分線的意義，相似三角形判定和性質，勾股定理，銳角三角函數，利用勾股定理和相似表示線段世界本題的關鍵，也是難點．