Question

3．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD=2a，點E、F分別是BC、CD邊的中點．連接BF、DE交于點P，連接CP并延長交AB于點Q，連接AF，則下列結(jié)論中正確的有①②（寫出正確結(jié)論的序號）
①四邊形ABED為平行四邊形；
②CP平分∠BCD；
③四邊形QPDA為等腰梯形；
④S_{四邊形AQCD}=$\frac{5}{3}$a²．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的判定中一組對邊平行且相等得出即可；
（2）首先得出△BCF≌△DCE（SAS），進而得出△BPE≌△DPF，即可得出BP=DP，得出△BPC≌△DPC即可解決問題；
（3）先判斷出CP≠CE，即可判斷出QP≠BE，即可得出結(jié)論錯誤；
（4）先判斷出△ECP≌△FCP，再用面積相等轉(zhuǎn)化，得出四邊形AQCD的面積等于平行四邊形ABED的面積，即可．

解答 解：（1）∵BC=CD=2AD，E是BC邊的中點，
∴AD=BE，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABED為平行四邊形；故①正確，

（2）∵E、F分別是BC、CD邊的中點，
∴EC=FC，
∴在△BCF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EC=FC}\\{∠ECD=∠BCF}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴∠FBC=∠EDC，BF=ED，∠BPE=∠DPF，
∴△BPE≌△DPF（AAS），
∴BP=DP，PC=PC，BC=CB，
∴△BPC≌△DPC（SSS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD；故②正確
（3）∵CD=2CE，∠BCD=90°，
∴tan∠CED=2，
∴∠CED≠67.5°，
∵∠BCQ=45°，
∴∠CEP≠∠BCQ，
∴CP≠CE，
由（1）DE∥AB，CE=BE，
∴CP=QP≠BE，
∵AD=BE，
∴QP≠AD，
∴四邊形QPDA不是等腰梯形，故③錯誤，
（4）∵△BCF≌△DCE，
∴S_△BCF=S_△DCE，
∵CE=CF，∠ECP=∠FCP，CP=CP，
∴△ECP≌△FCP，
∴S_△ECP=S_△FCP，
∴S_△BPC=S_△DPC，
∵CP=QP，
∴S_△BPQ=S_△BPC，
∴S_{四邊形AQCD}=S_{平行四邊形ABED}=BE×CD=2a²，故④錯誤．

點評 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，面積的轉(zhuǎn)化，根據(jù)已知得出△BPC≌△DPC是解題關(guān)鍵．