Question

如圖：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)．
（1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C距離之間的關(guān)系；
（2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)，移動(dòng)中保持AN=BM，請(qǐng)判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O為BC的中點(diǎn)，
∴OA=BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
連接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON與△BOM中

∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
分析：（1）由于△ABC是直角三角形，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故有OA=OB=OC=BC；
（2）由于OA是等腰直角三角形的斜邊上的中線，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS證得△AON≌△BOM可得：ON=OM ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解．