【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,頂點為(4,1)的拋物線交y軸于點A,交x軸于B,C兩點(點B在點C的左側(cè)),已知C點坐標(biāo)為(6,0).
(1)求此拋物線的解析式;
(2)已知點P是拋物線上的一個動點,且位于A,C兩點之間.問:當(dāng)點P運動到什么位置時,△PAC的面積最大?求出△PAC的最大面積;
(3)連接AB,過點B作AB的垂線交拋物線于點D,以點C為圓心的圓與拋物線的對稱軸l相切,先補(bǔ)全圖形,再判斷直線BD與⊙C的位置關(guān)系并加以證明.
【答案】(1)y=﹣x2+2x﹣3.(2)P點的位置是(3,),△PAC的最大面積是.(3)P點的位置是(3,),△PAC的最大面積是.
【解析】
試題分析:(1)由拋物線頂點為(4,1),可設(shè)出其頂點式y(tǒng)=a(x﹣4)2+1,將C點(6,0)代入其中即可求得a的值;
(2)設(shè)出P點坐標(biāo)(m,﹣m2+2m﹣3),用含m的多項式來表示出△PAC面積,根據(jù)解極值問題即可得出△PAC的面積取最大值時P點的坐標(biāo),以及最大面積值;
(3)如圖做好輔助線,借助于相似三角形的比例關(guān)系求出C到直線BD的距離,再與⊙C半徑進(jìn)行比較,即可得出結(jié)論.
(1)解:∵拋物線的頂點為(4,1),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣4)2+1.
∵拋物線經(jīng)過點C(6,0),
∴0=a(6﹣4)2+1,解得a=﹣,
∴y=﹣(x﹣4)2+1=﹣x2+2x﹣3.
所以拋物線的解析式為y=﹣x2+2x﹣3.
(2)解:如圖1,過點P作平行于y軸的直線交AC于點Q,
∵A(0,﹣3),C(6,0),
∴直線AC解析式為y=x﹣3.
設(shè)P點坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m﹣3),
則Q點的坐標(biāo)為(m,m﹣3),
∴PQ=﹣m2+2m﹣3﹣(m﹣3)=﹣m2+m,
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=×(﹣m2+m)×6=﹣(m﹣3)2+,
∴當(dāng)m=3時,△PAC的面積最大為.
∵當(dāng)m=3時,﹣m2+2m﹣3=,
∴P點坐標(biāo)為(3,).
綜上:P點的位置是(3,),△PAC的最大面積是.
(3)判斷直線BD與⊙C相離.
證明:令﹣(x﹣4)2+1=0,解得x1=2,x2=6,
∴B點坐標(biāo)(2,0).
又∵拋物線交y軸于點A,
∴A點坐標(biāo)為(0,﹣3),
∴AB==.
設(shè)⊙C與對稱軸l相切于點F,則⊙C的半徑CF=2,
作CE⊥BD于點E,如圖2,則∠BEC=∠AOB=90°.
∵∠ABD=90°,
∴∠CBE=90°﹣∠ABO.
又∵∠BAO=90°﹣∠ABO,
∴∠BAO=∠CBE.
∴△AOB∽△BEC,
∴=,
∴=,
∴CE=>2.
∴直線BD與⊙C相離.
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【題目】過度包裝既浪費資源又污染環(huán)境,據(jù)測算,如果全國每年減少十分之一的包裝紙用量,那么能減少3120000噸二氧化碳的排放量,把數(shù)據(jù)3120000用科學(xué)記數(shù)法表示為( 。
A. 312×104 B. 0.312×107 C. 3.12×106 D. 3.12×107
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(1)該年級報名參加丙組的人數(shù)為 ;
(2)該年級報名參加本次活動的總?cè)藬?shù) ,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)根據(jù)實際情況,需從甲組抽調(diào)部分同學(xué)到丙組,使丙組人數(shù)是甲組人數(shù)的3倍,應(yīng)從甲組抽調(diào)多少名學(xué)生到丙組?
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請根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)表中和所表示的數(shù)分別為:= ,= ;
(2)請在圖中,補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果把成績在90分以上(含90分)定為優(yōu)秀,那么該市24000名八年級考生數(shù)學(xué)成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生約有多少名?
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(1)、參照圖象,求b、圖②中c及d的值;
(2)、連接PQ,當(dāng)PQ平分矩形ABCD的面積時,運動時間x的值為 ;
(3)、當(dāng)兩點改變速度后,設(shè)點P、Q在運動線路上相距的路程為y(cm),求y(cm)與運動時間x(秒)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(4)、若點P、點Q在運動路線上相距的路程為25cm,求x的值.
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