Question

如圖1，矩形MNPQ中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在NP，PQ，QM，MN上，若∠1=∠2=∠3=∠4，則稱四邊形EFGH為矩形MNPQ的反射四邊形．圖2，圖3，圖4中，四邊形ABCD為矩形，且AB=4，BC=8．


（1）理解與作圖：在圖2，圖3中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，試?yán)�用正方形網(wǎng)格在圖上作出矩形ABCD的反射四邊形EFGH．
（2）計(jì)算與猜想：求圖2，圖3中反射四邊形EFGH的周長(zhǎng)，并猜想矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)是否為定值？
（3）啟發(fā)與證明：如圖4，為了證明上述猜想，小華同學(xué)嘗試延長(zhǎng)GF交BC的延長(zhǎng)線于M，試?yán)�用小華同學(xué)給我們的啟發(fā)證明（2）中的猜想．

Answer 1

（1）作圖如下：

（2）四邊形EFGH的周長(zhǎng)為，四邊形EFGH的周長(zhǎng)也為。
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值。
（3）通過(guò)延長(zhǎng)GH交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，求得，得出矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值。

解析試題分析：解：（1）作圖如下：

（2）在圖2中， ，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為。
在圖3中，，，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為。
猜想：矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值。
（3）延長(zhǎng)GH交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∵，，
∴。
又∵FC=FC，
∴Rt△FCE≌Rt△FCM（ASA）。
∴EF=MF，EC=MC。
同理：NH=EH，NB=EB�！郙N=2BC=16。
∵，，，∴。
∴GM=GN。
過(guò)點(diǎn)G作GK⊥BC于K，則。
∴。
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)為。∴矩形ABCD的反射四邊形的周長(zhǎng)為定值
考點(diǎn)：網(wǎng)格問(wèn)題，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)。
點(diǎn)評(píng)：新定義問(wèn)題，利用網(wǎng)格問(wèn)題構(gòu)造圖形，難度中等，關(guān)鍵在于考生能夠準(zhǔn)確理解題意，化繁為簡(jiǎn)，利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。