已知過原點O的兩直線與圓心為M(0,4),半徑為2的圓相切,切點分別為P、Q,PQ交y軸于點K,拋物線經(jīng)過P、Q兩點,頂點為N(0,6),且與x軸交于A、B兩點.

(1)求點P的坐標;

(2)求拋物線解析式;

(3)在直線y=nx+m中,當n=0,m≠0時,y=m是平行于x軸的直線,設直線y=m與拋物線相交于點C、D,當該直線與⊙M相切時,求點A、B、C、D圍成的多邊形的面積(結果保留根號).


解:(1)如圖1,

∵⊙M與OP相切于點P,

∴MP⊥OP,即∠MPO=90°.

∵點M(0,4)即OM=4,MP=2,

∴OP=2

∵⊙M與OP相切于點P,⊙M與OQ相切于點Q,

∴OQ=OP,∠POK=∠QOK.

∴OK⊥PQ,QK=PK.

∴PK===

∴OK==3.

∴點P的坐標為(,3).

(2)如圖2,

設頂點為(0,6)的拋物線的解析式為y=ax2+6,

∵點P(,3)在拋物線y=ax2+6上,

∴3a+6=3.

解得:a=﹣1.

則該拋物線的解析式為y=﹣x2+6.

(3)當直線y=m與⊙M相切時,

則有=2.

解得;m1=2,m2=6.

①m=2時,如圖3,

則有OH=2.

當y=2時,解方程﹣x2+6=2得:x=±2,

則點C(2,2),D(﹣2,2),CD=4.

同理可得:AB=2

則S形ABCD=(DC+AB)•OH=(4+2)×2=4+2

②m=6時,如圖4,

此時點C、點D與點N重合.

S△ABC=AB•OC=×2×6=6

綜上所述:點A、B、C、D圍成的多邊形的面積為4+2或6

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