Question

【題目】“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名的問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”．下面是數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R．分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問題：

（1）設(shè)P（，）、R（，），求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含，的代數(shù)式表示）；

（2）分別過點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q．請(qǐng)說明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB；

（3）應(yīng)用上述方法得到的結(jié)論，你如何三等分一個(gè)鈍角（用文字簡要說明）

Answer 1

【答案】（1）. y=x；（2）.證明見解析；（3）.見解析.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)R的坐標(biāo)得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)出直線OM的解析式，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入直線解析式求出未知參數(shù)即可；（2）不難證明四邊形PQRM為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠PSQ=2∠PMS，PR=2PS，由已知條件PR=2PO可得PS=PO，即∠PSO=∠POS，所以∠POS=2∠PMS，由PM∥x軸可得∠PMS=∠MOB，所以∠POS=2∠MOB，即可證明∠MOB=∠AOB；（3）方法一：利用鈍角的一半是銳角，將利用上述結(jié)論將銳角三等分即可；方法二：鈍角減去一個(gè)直角得一個(gè)銳角，利用上述結(jié)論將銳角三等分后，再將直角三等分即可.

（1）設(shè)直線OM的解析式為y=kx，

∵P（a，），R（b，），

∴M（b，），

∴k=，

∴y=x；

（2）證明：由題意得Q（a，），

當(dāng)x=a時(shí)，y=，

∴點(diǎn)Q在直線OM上，

由題意可得∠PMB=∠MRQ=∠RQP=90°，

∴四邊形PQRM是矩形，

∴PR=2PS，SP=SM，

∴∠SPM=∠SMP，

∴∠PSO=2∠SMP，

∵PM∥x軸，

∴∠SMP=∠MOB，

∴∠PSO=2∠MOB，

∵PR=2PO，

∴PS=PO，

∴∠PSO=∠POS，

∴∠POS=2∠MOB，

∴∠MOB=∠AOB；

（3）方法一：利用鈍角的一半是銳角，將利用上述結(jié)論將銳角三等分即可；

方法二：鈍角減去一個(gè)直角得一個(gè)銳角，利用上述結(jié)論將銳角三等分后，再將直角三等分即可.