Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AC為對角線，延長CD至點E使CE＝CA，連接AE．F為AB上的一點，且BF＝DE，連接FC．

（1）若DE＝1，CF＝，求CD的長；

（2）如圖2，點G為線段AE的中點，連接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°，求證：AF+CE＝AC．

Answer 1

【答案】（1）CD＝3；（2）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)先由勾股定理求得BC的值再通過AC2＝AD2+CD2即可求得CD的長；

（2）如圖2中，連接CG．作FJ⊥AC于J．通過證明∠BAC=30°，∠ACF=45°即可解決問題.

（1）設(shè)CD＝x．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADC＝∠B＝90°，AD＝BC，

在Rt△BCF中，BC＝，

∵AC＝CE＝x+1，

在Rt△ADC中，∵AC2＝AD2+CD2，

∴，

∴x＝3，

∴CD＝3；

（2）如圖2中，連接CG．作FJ⊥AC于J．

∵CA＝CE，AG＝EG，

∴CG⊥AE，∠ACG＝∠ECG，

∵∠AGC＝∠ABC＝90°，

∴∠AGC+∠ABC＝180°，

∴A、G、C、B四點共圓，

∴∠ABG＝∠ACG，

∴∠ACG＝∠ECG＝∠ABG，設(shè)∠ACG＝∠ECG＝∠ABG＝x，則∠BAH＝∠ACD＝2x，∠BHC＝∠BAH+∠ABG＝3x，

∵∠BHC+∠ABG＝60°，

∴4x＝60°，

∴x＝15°，

∴∠FAJ＝30°，∠DAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝75°，

∴∠EAD＝15°，

∵DE＝BF，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，

∴，

∴∠BCF＝∠DAE＝15°，

∴∠FCJ＝45°，

∴CJ＝FJ，設(shè)CJ＝FJ＝a，則AJ＝，AF＝2a，AC＝，

∴，

∴AF＝，

∴AF＝，∵AC＝CE，

∴．