Question

如圖，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點，M為EF的中點，延長AM交BC于點N，連接DM．下列結(jié)論：①DF=DN；③AE=CN；③△DMN是等腰三角形；④∠BMD=45°，其中正確的結(jié)論個數(shù)是（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定,等腰直角三角形

專題：

分析：求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，證△DFB≌△DAN，即可判斷①，證△ABF≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判斷②；根據(jù)A、B、D、M四點共圓求出∠ADM=22.5°，即可判斷④，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判斷③．

解答：解：∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，
∴∠ABC=∠C=45°，AD=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°=∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC=22.5°，
∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，
∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，
∴AF=AE，AM⊥BE，
∴∠AMF=∠AME=90°，
∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，
在△FBD和△NAD中

∠FBD=∠DAN BD=AD ∠BDF∠ADN

∴△FBD≌△NAD，
∴DF=DN∴①正確；
在△AFB和△△CNA中

∠BAF=∠C=45° AB=AC ∠ABF=∠CAN=22.5°

∴△AFB≌△CAN，
∴AF=CN，
∵AF=AE，
∴AE=CN，∴②正確；
∵∠ADB=∠AMB=90°，
∴A、B、D、M四點共圓，
∴∠ABM=∠ADM=22.5°，
∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°=45°，∴④正確；
∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，
∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DNM，
∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正確；
即正確的有4個，
故選D．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確證明推出兩個三角形全等是解此題的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的推理能力．