【題目】如圖,已知銳角△ABC中,CD、BE分別是AB、AC邊上的高,M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn).
(1)求證:MN⊥DE.
(2)連結(jié)DM,ME,猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系,并證明猜想.
(3)當(dāng)∠A變?yōu)殁g角時(shí),如圖,上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立, 若結(jié)論成立,直接回答,不需證明;若結(jié)論不成立,說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)∠DME=180°-2∠A,理由見(jiàn)解析;(3)結(jié)論(1)成立, 結(jié)論(2)不成立.
【解析】試題分析:
(1)如圖,連接DM、ME,由CD、BE是△ABC的高可得∠BDC=∠BEC=90°,結(jié)合點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),可得ME=BC,MD=BC,由此可得ME=MD,再結(jié)合點(diǎn)N是DE的中點(diǎn),利用等腰三角形的“三線合一”可得:MN⊥DE;
(2)由(1)可知:DM=ME=BM=MC,則:∠DBM=∠BDM,∠ECM=∠CEM,由此可得:∠DMB=180°-2∠DBM,∠EMC=180°-2∠ECM,結(jié)合∠DME=180°-∠DMB-∠EMC可得∠DME=2(∠DBM+∠ECM)-180°,再結(jié)合:∠DBM+∠ECM=180°-∠A可得∠DME=180°-2∠A;
(3)①同(1)中思路一樣可證得在當(dāng)∠A為鈍角時(shí),原來(lái)(1)中的結(jié)論成立;② 當(dāng)∠A為鈍角時(shí),由①可知,DM=ME=BM=MC,則∠MCE=∠MEC,∠MBD=∠MDB,由此可得∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE,∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD,結(jié)合∠DME=180°-∠BME-∠CMD,可得∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE),再結(jié)合∠MBD+∠MCE)=180°-∠A可得∠DME=2∠A-180°,從而可得原(2)中的結(jié)論不成立.
試題解析:
(1)如圖,連接DM,ME,
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高,M是BC的中點(diǎn),
∴DM=BC,ME=BC,
∴DM=ME,
又∵N為DE中點(diǎn),
∴MN⊥DE;
(2)在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∵DM=ME=BM=MC,
∴∠DBM=∠BDM,∠ECM=∠CEM,
∴∠BMD=180°-2∠DBM,∠CME=180°-2∠ECM,
∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠A)=2∠A,
∴∠DME=180°-2∠A;
(3)結(jié)論(1)成立, 結(jié)論(2)不成立,
理由如下:
①如圖,連接DM,ME,
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高,M是BC的中點(diǎn),
∴DM=BC,ME=BC,
∴DM=ME,
又∵N為DE中點(diǎn),
∴MN⊥DE;
②由①可知,DM=ME=BM=MC,
∴∠MCE=∠MEC,∠MBD=∠MDB,
∴∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE,∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD,
又∵∠DME=180°-∠BME-∠CMD,
∴∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE),
又∵在△ABC中,∠MBD+∠MCE=180°-∠BAC
∴∠DME=180°-2(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°.
∴(2)中原來(lái)的結(jié)論不成立.
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(1)求證:△ABE≌△CBF;
(2)將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ADH,請(qǐng)判斷四邊形AFCH是什么特殊四邊形,并說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(﹣1,5),B(﹣2,0),C(﹣4,3).
(1)請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B′C′(其中A'、B′、C′分別是A、B、C的對(duì)稱點(diǎn),不寫畫法);
(2)寫出C′的坐標(biāo),并求△ABC的面積;
(3)在y軸上找出點(diǎn)P的位置,使線段PA+PB的最小.
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