Question

5．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=$\frac{1}{2}$x+2交于C，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由．
（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45°，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先把點(diǎn)C，D坐標(biāo)確定，再用待定系數(shù)法求出b，c；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，確定出PF∥CO，由PF=CO，求出m即可；
（3）先判斷出△PMF∽△CNF，得出PM=CM=2CF，由FP的長(zhǎng)從兩個(gè)角度計(jì)算建立方程即可．

解答 解：（1）∵直線y=$\frac{1}{2}$+2經(jīng)過點(diǎn)C，D
∴C（0，2），D（3，$\frac{7}{2}$），
∵拋物y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C（0，2），D（3，$\frac{7}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=c}\\{\frac{7}{2}=-{3}^{2}+3b+c}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+$\frac{7}{2}$x+2，
（2）∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，且在拋物線上
∴P（m，-m²+$\frac{7}{2}$m+2），F(xiàn)（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∵PF∥CO，∴當(dāng)PF=CO時(shí)，以O(shè)，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
①當(dāng)0＜m＜3時(shí)，PF=-m²+$\frac{7}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-m²+3m，
∴m₁=1，m₂=2，
即當(dāng)m=1或2時(shí)，四邊形OCPF是平行四邊形，
②當(dāng)m≥3時(shí)，PF=（$\frac{1}{2}$m+2）-（-m²+$\frac{7}{2}$m+2）=m^2_-3m，
∴m₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，m₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
即當(dāng)m=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，四邊形OCFP是平行四邊形，
當(dāng)m=1或2或$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，四邊形O，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
（3）如圖，

當(dāng)點(diǎn)P在CD上方且∠PCF=45°時(shí)，作PM⊥CD，CN⊥PF，
∴△PMF∽△CNF，
∴$\frac{PM}{MF}=\frac{CN}{FN}=\frac{m}{\frac{1}{2}m}=2$，
∴PM=CM=2CF，
∴PF=$\sqrt{5}$FM=$\sqrt{5}$CF=$\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$CN=$\frac{5}{2}$CN=$\frac{5}{2}$m，
∵PF=-m²+3m，
∴-m²+3m=$\frac{5}{2}$m，
∴m₁=$\frac{1}{2}$，m₂=0（舍去）
∴P（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）．
同理可得：另外一點(diǎn)P（$\frac{23}{6}$，$\frac{13}{18}$）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，用待定系數(shù)法確定出解析式是解本題的關(guān)鍵．