(2008•陜西)某縣社會主義新農(nóng)村建設(shè)辦公室,為了解決該縣甲,乙兩村和一所中學(xué)長期存在的飲水困難問題,想在這三個(gè)地方的其中一處建一所供水站,由供水站直接鋪設(shè)管道到另外兩處.
如圖,甲,乙兩村坐落在夾角為30°的兩條公路的AB段和CD段(村子和公路的寬均不計(jì)),點(diǎn)M表示這所中學(xué).點(diǎn)B在點(diǎn)M的北偏西30°的3km處,點(diǎn)A在點(diǎn)M的正西方向,點(diǎn)D在點(diǎn)M的南偏西60°的km處.
為使供水站鋪設(shè)到另兩處的管道長度之和最短,現(xiàn)有如下三種方案:
方案一:供水站建在點(diǎn)M處,請你求出鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值;
方案二:供水站建在乙村(線段CD某處),甲村要求管道鋪設(shè)到A處,請你在圖①中,畫出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖,并求其最小值;
方案三:供水站建在甲村(線段AB某處),請你在圖②中,畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖,并求其最小值.
綜上,你認(rèn)為把供水站建在何處,所需鋪設(shè)的管道最短?

【答案】分析:(1)由題意可得,供水站建在點(diǎn)M處,根據(jù)垂線段最短、兩點(diǎn)之間線段最短,可知鋪設(shè)到甲村某處和乙村某處的管道長度之和的最小值為MB+MD,求值即可;
(2)作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對稱點(diǎn)M',則MM'=2ME,連接AM'交OE于點(diǎn)P,且證明P點(diǎn)與E點(diǎn)重合,即AM'過D點(diǎn).求出AM'的值即是鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的值;
(3)作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對稱點(diǎn)M',作M'N⊥OE于N點(diǎn),交OF于點(diǎn)G,交AM于點(diǎn)H,連接GM,則GM=GM',可證得N,D兩點(diǎn)重合,即M'N過D點(diǎn).求GM+GD=M'D的值就是最小值.
解答:解:方案一:
由題意可得:MB⊥OB,
∴點(diǎn)M到甲村的最短距離為MB,(1分)
∵點(diǎn)M到乙村的最短距離為MD,
∴將供水站建在點(diǎn)M處時(shí),管道沿MD,MB線路鋪設(shè)的長度之和最小,
即最小值為MB+MD=3+(km);(3分)
方案二:如圖①,作點(diǎn)M關(guān)于射線OE的對稱點(diǎn)M',則MM'=2ME,
連接AM'交OE于點(diǎn)P,PE∥AM,PE=AM,
∵AM=2BM=6,∴PE=3,(4分)
在Rt△DME中,∵DE=DM•sin60°=×=3,
ME=DM=×,
∴PE=DE,∴P點(diǎn)與D點(diǎn)重合,即AM'過D點(diǎn),(6分)
在線段CD上任取一點(diǎn)P',連接P'A,P′M,P'M',
則P'M=P′M',
∵AP'+P'M'>AM',
∴把供水站建在乙村的D點(diǎn)處,管道沿DA,DM線路鋪設(shè)的長度之和最小,
即最小值為AD+DM=AM'=;(7分)
方案三:作點(diǎn)M關(guān)于射線OF的對稱點(diǎn)M',作M'N⊥OE于N點(diǎn),交OF于點(diǎn)G,交AM于點(diǎn)H,連接GM,則GM=GM',
∴M'N為點(diǎn)M'到OE的最短距離,即M'N=GM+GN
在Rt△M'HM中,∠MM'N=30°,MM'=6,
∴MH=3,∴NE=MH=3,
∵DE=3,∴N,D兩點(diǎn)重合,即M'N過D點(diǎn),
在Rt△M'DM中,DM=,∴M'D=(10分)
在線段AB上任取一點(diǎn)G',過G'作G'N'⊥OE于N'點(diǎn),
連接G'M',G'M,
顯然G'M+G'N'=G'M'+G'N'>M'D,
∴把供水站建在甲村的G處,管道沿GM,GD
線路鋪設(shè)的長度之和最小,即最小值為GM+GD=M'D=,(11分)
綜上,∵3+,
∴供水站建在M處,所需鋪設(shè)的管道長度最短.(12分)
點(diǎn)評:此題主要考查線路最短問題的作圖和求值問題,有一定的難度.
練習(xí)冊系列答案
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(2)若全校共有2700名學(xué)生,你估計(jì)這所學(xué)校有多少名學(xué)生知道母親的生日;
(3)通過對以上數(shù)據(jù)的分析,你有何感想.(用一句話回答)

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方案二:供水站建在乙村(線段CD某處),甲村要求管道鋪設(shè)到A處,請你在圖①中,畫出鋪設(shè)到點(diǎn)A和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖,并求其最小值;
方案三:供水站建在甲村(線段AB某處),請你在圖②中,畫出鋪設(shè)到乙村某處和點(diǎn)M處的管道長度之和最小的線路圖,并求其最小值.
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